Diberikan balok ABCD.EFGH, dengan <EBA=(pi)/(4) dan

sin a = sqrt(15)/4

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk mencari nilai dari sin(a) dimana a adalah sudut EGB pada balok ABCD.EFGH.

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menentukan panjang rusuk balok atau setidaknya perbandingannya. Namun, soal ini tidak memberikan informasi spesifik mengenai panjang rusuk balok, hanya memberikan informasi mengenai sudut yang dibentuk oleh diagonal sisi dengan rusuknya.

Misalkan panjang rusuk AB = x, BC = y, dan BF = z.

Sudut EBA = pi/4. Dalam segitiga siku-siku EBA, tan(<EBA) = EA/AB = y/x. Jadi, tan(pi/4) = y/x. Karena tan(pi/4) = 1, maka y/x = 1, yang berarti y = x. Ini menunjukkan bahwa sisi alas ABCD adalah persegi.

Sudut GBC = pi/3. Dalam segitiga siku-siku GBC, tan(<GBC) = GC/BC = z/y. Jadi, tan(pi/3) = z/y. Karena tan(pi/3) = sqrt(3), maka z/y = sqrt(3). Karena y = x, maka z/x = sqrt(3), yang berarti z = x*sqrt(3).

Sekarang kita perlu mencari sudut a = <EGB. Perhatikan segitiga siku-siku EGB. Sisi-sisinya adalah:
EG = sqrt(EA^2 + AG^2) = sqrt(y^2 + (AB^2 + BC^2)) = sqrt(y^2 + (x^2 + y^2))
Namun, cara ini akan lebih rumit.

Mari kita gunakan segitiga siku-siku BGE. Sisi-sisinya adalah:
BG = sqrt(BC^2 + CG^2) = sqrt(y^2 + z^2)
BE = sqrt(AB^2 + AE^2) = sqrt(x^2 + y^2)
EG = sqrt(EF^2 + FG^2) = sqrt(x^2 + y^2)

Dalam segitiga siku-siku EGB (siku-siku di G):
Kita ingin mencari sin(a) = sin(<EGB).
Sisi di depan sudut a adalah EB.
Sisi miringnya adalah BG.

Perhatikan segitiga siku-siku BFG. Sisi BG adalah diagonal bidang BCGF.
BG = sqrt(BC^2 + CG^2) = sqrt(y^2 + z^2)
Karena y=x dan z=x*sqrt(3), maka:
BG = sqrt(x^2 + (x*sqrt(3))^2) = sqrt(x^2 + 3x^2) = sqrt(4x^2) = 2x

Sekarang perhatikan segitiga siku-siku EAB. Sisi EB adalah diagonal bidang ABFE.
EB = sqrt(EA^2 + AB^2) = sqrt(y^2 + x^2)
Karena y=x, maka:
EB = sqrt(x^2 + x^2) = sqrt(2x^2) = x*sqrt(2)

Sekarang kita kembali ke segitiga EGB yang siku-siku di G.
Sisi EG adalah diagonal bidang EFGH.
EG = sqrt(EF^2 + FG^2) = sqrt(x^2 + y^2)
Karena y=x, maka:
EG = sqrt(x^2 + x^2) = sqrt(2x^2) = x*sqrt(2)

Maaf, ada kesalahan dalam mengidentifikasi segitiga siku-siku untuk sudut a. Sudut a = <EGB.
Perhatikan segitiga siku-siku BCG, BG = sqrt(BC^2 + CG^2) = sqrt(y^2 + z^2). Kita punya y=x dan z=x*sqrt(3), jadi BG = sqrt(x^2 + (x*sqrt(3))^2) = sqrt(x^2 + 3x^2) = sqrt(4x^2) = 2x.

Perhatikan segitiga siku-siku EFG. EG = sqrt(EF^2 + FG^2) = sqrt(x^2 + y^2). Kita punya y=x, jadi EG = sqrt(x^2 + x^2) = sqrt(2x^2) = x*sqrt(2).

Perhatikan segitiga siku-siku ABFE. EB = sqrt(AE^2 + AB^2) = sqrt(y^2 + x^2). Kita punya y=x, jadi EB = sqrt(x^2 + x^2) = sqrt(2x^2) = x*sqrt(2).

Sekarang kita lihat segitiga EGB. Sisi-sisinya adalah EG, GB, dan EB.
EG = x*sqrt(2)
GB = 2x
EB = x*sqrt(2)

Segitiga EGB ini adalah segitiga sama kaki dengan EG = EB. Sudut a adalah <EGB.

Kita perlu mencari cos(a) atau sin(a) atau tan(a).

Mari kita gunakan hukum kosinus pada segitiga EGB:
EB^2 = EG^2 + GB^2 - 2 * EG * GB * cos(a)
(x*sqrt(2))^2 = (x*sqrt(2))^2 + (2x)^2 - 2 * (x*sqrt(2)) * (2x) * cos(a)
2x^2 = 2x^2 + 4x^2 - 4*sqrt(2)*x^2 * cos(a)
0 = 4x^2 - 4*sqrt(2)*x^2 * cos(a)
4*sqrt(2)*x^2 * cos(a) = 4x^2
cos(a) = 4x^2 / (4*sqrt(2)*x^2)
cos(a) = 1 / sqrt(2)

Jika cos(a) = 1/sqrt(2), maka a = pi/4.
Ini berarti sin(a) = sin(pi/4) = 1/sqrt(2) = sqrt(2)/2.

Namun, jika kita perhatikan kembali segitiga EGB, kita perlu memastikan siku-siku di mana. Asumsikan balok ABCD.EFGH memiliki sudut siku-siku di setiap sudutnya.

Mari kita gunakan koordinat:
A = (0,0,0)
B = (x,0,0)
C = (x,y,0)
D = (0,y,0)
E = (0,0,z)
F = (x,0,z)
G = (x,y,z)
H = (0,y,z)

Diketahui <EBA = pi/4. Vektor EB = B - E = (x,0,-z). Vektor BA = A - B = (-x,0,0).
cos(<EBA) = (EB . BA) / (|EB| * |BA|)
cos(pi/4) = ((x,0,-z) . (-x,0,0)) / (sqrt(x^2+z^2) * x)
1/sqrt(2) = (-x^2) / (x * sqrt(x^2+z^2))
1/sqrt(2) = -x / sqrt(x^2+z^2)

Sepertinya ada kesalahan dalam interpretasi soal mengenai sudut <EBA. Sudut <EBA biasanya merujuk pada sudut antara garis EB dan garis BA. Dalam segitiga siku-siku EBA (siku-siku di A), tan(<EBA) = EA/AB = z/x. Jika <EBA = pi/4, maka z/x = 1, z = x.

Sekarang, diketahui <GBC = pi/3. Dalam segitiga siku-siku GBC (siku-siku di B), tan(<GBC) = GC/BC = z/y. Jadi, z/y = tan(pi/3) = sqrt(3). Karena z = x, maka x/y = sqrt(3), atau y = x/sqrt(3).

Sekarang kita ingin mencari a = <EGB. Perhatikan segitiga siku-siku EGB (siku-siku di G).
Sisi EG = sqrt(EF^2 + FG^2) = sqrt(x^2 + y^2). Karena y = x/sqrt(3), EG = sqrt(x^2 + (x/sqrt(3))^2) = sqrt(x^2 + x^2/3) = sqrt(4x^2/3) = 2x/sqrt(3).
Sisi GB = sqrt(GC^2 + CB^2) = sqrt(z^2 + y^2). Karena z = x dan y = x/sqrt(3), GB = sqrt(x^2 + (x/sqrt(3))^2) = sqrt(x^2 + x^2/3) = sqrt(4x^2/3) = 2x/sqrt(3).
Sisi EB = sqrt(EA^2 + AB^2) = sqrt(z^2 + x^2). Karena z = x, EB = sqrt(x^2 + x^2) = sqrt(2x^2) = x*sqrt(2).

Segitiga EGB memiliki sisi-sisi:
EG = 2x/sqrt(3)
GB = 2x/sqrt(3)
EB = x*sqrt(2)

Segitiga EGB adalah segitiga sama kaki dengan EG = GB.
Sudut a adalah <EGB.

Kita bisa menggunakan hukum kosinus:
EB^2 = EG^2 + GB^2 - 2 * EG * GB * cos(a)
(x*sqrt(2))^2 = (2x/sqrt(3))^2 + (2x/sqrt(3))^2 - 2 * (2x/sqrt(3)) * (2x/sqrt(3)) * cos(a)
2x^2 = 4x^2/3 + 4x^2/3 - 2 * (4x^2/3) * cos(a)
2x^2 = 8x^2/3 - (8x^2/3) * cos(a)

Kalikan seluruhnya dengan 3:
6x^2 = 8x^2 - 8x^2 * cos(a)
8x^2 * cos(a) = 8x^2 - 6x^2
8x^2 * cos(a) = 2x^2
cos(a) = 2x^2 / 8x^2
cos(a) = 1/4

Jika cos(a) = 1/4, maka kita bisa mencari sin(a) menggunakan identitas sin^2(a) + cos^2(a) = 1.
sin^2(a) = 1 - cos^2(a)
sin^2(a) = 1 - (1/4)^2
sin^2(a) = 1 - 1/16
sin^2(a) = 15/16
sin(a) = sqrt(15/16)
sin(a) = sqrt(15) / 4

Jadi, sin(a) = sqrt(15)/4.