Diberikan kubus ABCD .EFGH dengan panjang rusuk 2 cm. Titik

$\frac{2\sqrt{19}}{3}$

Pembahasan

Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2 cm. Titik P terletak pada rusuk FG sehingga FP = 2PG.

Karena P terletak pada FG dan FG adalah rusuk kubus dengan panjang 2 cm, maka FP + PG = FG = 2 cm.
Diketahui FP = 2PG, maka substitusikan ke persamaan: 2PG + PG = 2
3PG = 2
PG = $\frac{2}{3}$ cm
FP = 2 * $\frac{2}{3}$ = $\frac{4}{3}$ cm

Bidang irisan kubus yang melalui titik B, D, dan P adalah bidang BDP.
Untuk mencari luas bidang BDP, kita perlu menentukan bentuk bidang tersebut dan panjang sisi-sisinya.

Perhatikan segitiga BCP. Segitiga ini siku-siku di C.
BC = 2 cm (rusuk kubus)
CP = CG + GP = 2 + $\frac{2}{3}$ = $\frac{6}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $\frac{8}{3}$ cm

Dengan menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga BCP:
BP^2 = BC^2 + CP^2
BP^2 = 2^2 + (\frac{8}{3})^2
BP^2 = 4 + \frac{64}{9}
BP^2 = \frac{36}{9} + \frac{64}{9}
BP^2 = \frac{100}{9}
BP = $\sqrt{\frac{100}{9}}$ = $\frac{10}{3}$ cm

Sekarang perhatikan segitiga CDP. Segitiga ini siku-siku di D.
CD = 2 cm (rusuk kubus)
DP^2 = DH^2 + HP^2. HP = FP = 4/3. DH = 2. DP^2 = 2^2 + (4/3)^2 = 4 + 16/9 = (36+16)/9 = 52/9. DP = sqrt(52)/3 = 2*sqrt(13)/3

Perhatikan segitiga BDP. Kita perlu mencari panjang BD dan DP.
BD adalah diagonal sisi kubus.
BD^2 = BC^2 + CD^2
BD^2 = 2^2 + 2^2
BD^2 = 4 + 4
BD^2 = 8
BD = $\sqrt{8}$ = $2\sqrt{2}$ cm

Sekarang kita memiliki segitiga BDP dengan sisi-sisi:
BD = $2\sqrt{2}$ cm
BP = $\frac{10}{3}$ cm
DP = $\frac{2\sqrt{13}}{3}$ cm

Bidang irisan tersebut adalah segitiga BDP. Kita dapat menghitung luas segitiga ini menggunakan rumus Heron atau dengan mencari tingginya.

Mari kita coba pendekatan lain dengan mengidentifikasi bidang BDP dalam koordinat.
Misalkan D = (0,0,0), C = (2,0,0), A = (0,2,0), H = (0,0,2).

Karena rusuknya 2 cm:
B = (2,2,0)
D = (0,0,0)
P terletak pada FG. F = (2,0,2), G = (2,2,2).
P membagi FG dengan perbandingan FP:PG = 2:1.
Koordinat P = $\frac{1 \cdot F + 2 \cdot G}{1+2}$ = $\frac{1 \cdot (2,0,2) + 2 \cdot (2,2,2)}{3}$
P = $\frac{(2,0,2) + (4,4,4)}{3}$ = $\frac{(6,4,6)}{3}$ = (2, 4/3, 2)

Koordinat titik:
B = (2,2,0)
D = (0,0,0)
P = (2, 4/3, 2)

Kita akan menghitung luas segitiga BDP.
Kita dapat menggunakan vektor.
$\vec{DB}$ = B - D = (2,2,0)
$\vec{DP}$ = P - D = (2, 4/3, 2)

Luas segitiga adalah setengah dari besar cross product dari $\vec{DB}$ dan $\vec{DP}$.
$\vec{DB} \times \vec{DP}$ = $\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 2 & 0 \\ 2 & 4/3 & 2 \end{vmatrix}$
= $\mathbf{i}(2 \cdot 2 - 0 \cdot 4/3) - \mathbf{j}(2 \cdot 2 - 0 \cdot 2) + \mathbf{k}(2 \cdot 4/3 - 2 \cdot 2)$
= $\mathbf{i}(4 - 0) - \mathbf{j}(4 - 0) + \mathbf{k}(8/3 - 4)$
= $4\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + (8/3 - 12/3)\mathbf{k}$
= $4\mathbf{i} - 4\mathbf{j} - \frac{4}{3}\mathbf{k}$

Besar dari vektor cross product adalah:
$|\vec{DB} \times \vec{DP}|$ = $\sqrt{4^2 + (-4)^2 + (-\frac{4}{3})^2}$
= $\sqrt{16 + 16 + \frac{16}{9}}$
= $\sqrt{32 + \frac{16}{9}}$
= $\sqrt{\frac{32 \cdot 9 + 16}{9}}$
= $\sqrt{\frac{288 + 16}{9}}$
= $\sqrt{\frac{304}{9}}$
= $\frac{\sqrt{304}}{3}$

$\sqrt{304} = \sqrt{16 \cdot 19} = 4\sqrt{19}$

Jadi, $|\vec{DB} \times \vec{DP}|$ = $\frac{4\sqrt{19}}{3}$

Luas bidang a (segitiga BDP) = $\frac{1}{2} |\vec{DB} \times \vec{DP}|$
Luas = $\frac{1}{2} \cdot \frac{4\sqrt{19}}{3}$
Luas = $\frac{2\sqrt{19}}{3}$ cm^2.

Mari kita cek kembali perhitungan DP.
F = (2,0,2), G = (2,2,2). P membagi FG dengan perbandingan FP:PG = 2:1. Maka P adalah titik di FG sehingga PF = 2/3 FG dan PG = 1/3 FG. Oh, P terletak PADA rusuk FG. Maka P berada di antara F dan G.

FP = 2PG. FG = FP + PG = 2PG + PG = 3PG. Karena FG = 2, maka 3PG = 2, sehingga PG = 2/3 dan FP = 4/3.

Koordinat F = (2,0,2), G = (2,2,2). P adalah titik pada FG. Maka P memiliki koordinat x=2, z=2. Koordinat y bisa dihitung.
Kita bisa parameterisasi FG. F + t(G-F) = (2,0,2) + t(0,2,0) = (2, 2t, 2). P adalah titik pada FG.

FP = jarak antara F(2,0,2) dan P(2, y_p, 2). FP = $\sqrt{(2-2)^2 + (y_p-0)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{y_p^2} = |y_p|$.
PG = jarak antara P(2, y_p, 2) dan G(2,2,2). PG = $\sqrt{(2-2)^2 + (y_p-2)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{(y_p-2)^2} = |y_p-2|$.

Karena P pada FG, maka 0 <= y_p <= 2.
Maka FP = y_p dan PG = 2 - y_p.
FP = 2PG => y_p = 2(2 - y_p) => y_p = 4 - 2y_p => 3y_p = 4 => y_p = 4/3.
Jadi koordinat P adalah (2, 4/3, 2).

Perhitungan sebelumnya sudah benar.

Kembali ke segitiga BDP.
Kita perlu menghitung luas segitiga dengan alas BD dan tinggi dari P ke garis BD.
Atau gunakan rumus luas segitiga siku-siku jika ada.
Bidang BDP bukan bidang datar yang sejajar dengan sumbu.

Perhitungan dengan cross product sudah benar. Mari kita cek apakah ada cara yang lebih sederhana.

Bidang irisan BDP adalah sebuah segitiga. Kita perlu panjang BD, BP, dan DP.
BD = $2\sqrt{2}$ (diagonal sisi)
FP = 4/3, FG = 2. P pada FG.
BP^2 = BC^2 + CP^2. CP = CG + GP = 2 + (2/3) = 8/3. BP^2 = 2^2 + (8/3)^2 = 4 + 64/9 = (36+64)/9 = 100/9. BP = 10/3.
DP^2 = DH^2 + HP^2. HP adalah jarak P ke garis DH. Karena P pada FG, HP adalah jarak P ke bidang ADHE. P = (2, 4/3, 2). H = (0,0,2), D = (0,0,0). HP = sqrt((2-0)^2 + (4/3-0)^2 + (2-2)^2) = sqrt(4 + 16/9) = sqrt((36+16)/9) = sqrt(52/9) = 2*sqrt(13)/3.
Jadi DP = $2\sqrt{13}/3$.

Segitiga BDP memiliki sisi $2\sqrt{2}$, $10/3$, $2\sqrt{13}/3$. Ini bukan segitiga siku-siku.

Mari kita cari luas menggunakan metode proyeksi.
Luas BDP = Luas proyeksi BDP pada bidang xy / |cos theta|, dimana theta adalah sudut antara bidang BDP dan bidang xy.

Proyeksi BDP pada bidang xy:
B_xy = (2,2)
D_xy = (0,0)
P_xy = (2, 4/3)
Luas segitiga D_xy B_xy P_xy = 1/2 |x_D(y_B - y_P) + x_B(y_P - y_D) + x_P(y_D - y_B)|
= 1/2 |0(2 - 4/3) + 2(4/3 - 0) + 2(0 - 2)|
= 1/2 |0 + 8/3 - 4|
= 1/2 |8/3 - 12/3|
= 1/2 |-4/3|
= 1/2 * 4/3 = 2/3.

Bidang BDP. Vektor normal bidang ini adalah hasil cross product $\vec{DB} \times \vec{DP}$ = $(4, -4, -4/3)$.
Vektor normal bidang xy adalah k = (0,0,1).
cos theta = | ($\vec{DB} \times \vec{DP}$) . k | / (|$\vec{DB} \times \vec{DP}$| * |k|)
= | (4, -4, -4/3) . (0,0,1) | / ( (4\sqrt{19}/3) * 1 )
= | -4/3 | / (4\sqrt{19}/3)
= (4/3) / (4\sqrt{19}/3)
= 1/\sqrt{19}.

Luas BDP = Luas proyeksi BDP / cos theta
= (2/3) / (1/\sqrt{19})
= (2/3) * \sqrt{19} = 2\sqrt{19}/3.

Hasilnya sama. Perhitungan sudah benar.