Diberikan suku banyak p(x)=x^2+bx+c. jika b dan c dipilih

Peluangnya adalah 1/4.

Pembahasan

Untuk menentukan peluang suku banyak $p(x)=x^2+bx+c$ tidak mempunyai akar real, kita perlu menganalisis diskriminan dari persamaan kuadrat tersebut. Suku banyak tidak mempunyai akar real jika diskriminannya negatif ($D < 0$).

Diskriminan dari $p(x)=x^2+bx+c$ adalah $D = b^2 - 4ac$. Dalam kasus ini, $a=1$, sehingga $D = b^2 - 4c$.

Agar suku banyak tidak mempunyai akar, maka $D < 0$, yang berarti $b^2 - 4c < 0$, atau $b^2 < 4c$.

Diketahui bahwa $b$ dan $c$ dipilih secara acak dari selang $[0, 3]$. Ini berarti $0 
otin b 
otin 3$ dan $0 
otin c 
otin 3$.

Kita perlu mencari luas daerah pada bidang $bc$ di mana $b^2 < 4c$ dan $0 
otin b 
otin 3$, $0 
otin c 
otin 3$. Luas total dari daerah pemilihan $b$ dan $c$ adalah $3 	imes 3 = 9$.

Sekarang kita perlu menghitung luas daerah di mana $b^2 < 4c$. Ini adalah daerah di bawah parabola $c = \frac{b^2}{4}$.

Kita perlu mengintegrasikan terhadap $b$ dari 0 hingga 3:
Luas = $\int_{0}^{3} \frac{b^2}{4} db$
Luas = $[rac{b^3}{12}]_{0}^{3}$
Luas = $\frac{3^3}{12} - \frac{0^3}{12}$
Luas = $\frac{27}{12} = \frac{9}{4}$

Peluang suku banyak tidak mempunyai akar adalah rasio luas daerah yang memenuhi $b^2 < 4c$ terhadap luas total daerah pemilihan $b$ dan $c$.

Peluang = $\frac{\text{Luas}(b^2 < 4c)}{\text{Luas Total}}$
Peluang = $\frac{9/4}{9} = \frac{1}{4}$

Jadi, peluang suku banyak tersebut tidak mempunyai akar adalah $\frac{1}{4}$.