Diketahui koordinat titik A(3,2,1), B(4,4,4), dan C(5,6,7)

a. Vektor AB sejajar dengan vektor AC. b. T(-1,-6,-11)

Pembahasan

a. Untuk menunjukkan bahwa titik A(3,2,1), B(4,4,4), dan C(5,6,7) kolinear, kita perlu memeriksa apakah vektor AB sejajar dengan vektor AC (atau BC). Dua vektor sejajar jika salah satunya merupakan kelipatan skalar dari yang lain.

Vektor AB = B - A = (4-3, 4-2, 4-1) = (1, 2, 3)
Vektor AC = C - A = (5-3, 6-2, 7-1) = (2, 4, 6)

Kita dapat melihat bahwa vektor AC = 2 * vektor AB, karena (2, 4, 6) = 2 * (1, 2, 3). Karena vektor AC adalah kelipatan skalar dari vektor AB dan keduanya memiliki titik A yang sama, maka ketiga titik A, B, dan C adalah kolinear.

b. Menentukan koordinat titik T sehingga CT = 3 CA.

Kita sudah memiliki vektor CA = A - C = (3-5, 2-6, 1-7) = (-2, -4, -6).

Vektor CT adalah vektor dari C ke T. Kita tahu CT = 3 CA.

CT = 3 * (-2, -4, -6) = (-6, -12, -18).

Misalkan koordinat titik T adalah (x, y, z). Maka vektor CT = T - C.
(x - 5, y - 6, z - 7) = (-6, -12, -18)

Sekarang kita samakan komponen-komponennya:
x - 5 = -6  => x = -1
y - 6 = -12 => y = -6
z - 7 = -18 => z = -11

Jadi, koordinat titik T adalah (-1, -6, -11).