Gambar di atas menunjukkan suatu bidang empat beraturan

Jarak A ke BCD = (40√6)/3 cm, Jarak B ke CD = 20√3 cm

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan geometri ruang, khususnya pada bidang empat beraturan (tetrahedron).

Diketahui:
Bidang empat beraturan (tetrahedron) ABCD.
Semua sisinya merupakan segitiga sama sisi yang kongruen.
Panjang rusuk = 40 cm.
Titik O merupakan titik pusat alas BCD.

Bagian 1: Jarak titik A ke bidang alas BCD
Karena tetrahedron beraturan, sisi-sisinya adalah segitiga sama sisi. Alas BCD adalah segitiga sama sisi.
Titik O adalah titik pusat alas BCD (yang juga merupakan titik berat, titik pusat lingkaran dalam, dan titik pusat lingkaran luar segitiga BCD).
Jarak titik A ke bidang alas BCD adalah tinggi tetrahedron dari puncak A ke alas BCD.
Dalam segitiga sama sisi, tinggi (h) dapat dihitung dengan rumus: h = (s * sqrt(3)) / 2, di mana s adalah panjang sisi.
Untuk alas BCD, jika kita tarik garis tinggi dari B ke CD (misalnya di titik M), maka BM = (40 * sqrt(3)) / 2 = 20 * sqrt(3) cm.
Titik O membagi garis tinggi BM dalam perbandingan 2:1 (BO:OM = 2:1).
Jadi, jarak BO = (2/3) * BM = (2/3) * 20 * sqrt(3) = (40 * sqrt(3)) / 3 cm.
Sekarang, perhatikan segitiga siku-siku ABO (siku-siku di O). Sisi AB adalah rusuk tetrahedron (40 cm), dan BO adalah jarak dari B ke O.
Kita dapat menggunakan teorema Pythagoras untuk mencari AO (jarak A ke bidang alas BCD):
AO^2 + BO^2 = AB^2
AO^2 + ((40 * sqrt(3)) / 3)^2 = 40^2
AO^2 + (1600 * 3) / 9 = 1600
AO^2 + 4800 / 9 = 1600
AO^2 + 1600 / 3 = 1600
AO^2 = 1600 - 1600 / 3
AO^2 = (4800 - 1600) / 3
AO^2 = 3200 / 3
AO = sqrt(3200 / 3)
AO = sqrt(1600 * 2 / 3)
AO = 40 * sqrt(2/3)
AO = 40 * (sqrt(2) / sqrt(3))
AO = 40 * (sqrt(6) / 3) cm.

Bagian 2: Jarak titik B ke garis CD
Ini adalah tinggi dari segitiga sama sisi BCD (atau segitiga sama sisi ABC, ABD).
Misalkan kita ambil segitiga BCD. Karena ini adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisi 40 cm, kita perlu mencari tingginya.
Misalkan M adalah titik tengah CD. Maka BM adalah garis tinggi dari B ke CD.
Dalam segitiga BCM yang siku-siku di M:
BC = 40 cm
CM = CD / 2 = 40 cm / 2 = 20 cm.

Menggunakan Teorema Pythagoras:
BM^2 + CM^2 = BC^2
BM^2 + (20 cm)^2 = (40 cm)^2
BM^2 + 400 cm^2 = 1600 cm^2
BM^2 = 1600 cm^2 - 400 cm^2
BM^2 = 1200 cm^2
BM = sqrt(1200 cm^2)
BM = sqrt(400 * 3) cm
BM = 20 * sqrt(3) cm.

Jadi:
Jarak titik A ke bidang alas BCD adalah (40 * sqrt(6)) / 3 cm.
Jarak titik B ke garis CD adalah 20 * sqrt(3) cm.