Diketahui sisa pembagian polinomial p(x) oleh (x-3) adalah

(4/5)x + 23/5

Pembahasan

Kita diberikan informasi berikut:
1. Sisa pembagian p(x) oleh (x-3) adalah 7. Menurut Teorema Sisa, ini berarti p(3) = 7.
2. Sisa pembagian p(x) oleh (x^2+x-2) adalah (x+5). Karena x^2+x-2 = (x+2)(x-1), maka:
p(x) = q1(x)(x^2+x-2) + (x+5)
p(x) = q1(x)(x+2)(x-1) + (x+5)
Dari sini, kita dapatkan:
p(-2) = q1(-2)(-2+2)(-2-1) + (-2+5) = 0 + 3 = 3
p(1) = q1(1)(1+2)(1-1) + (1+5) = 0 + 6 = 6

Kita ingin mencari sisa pembagian p(x) oleh (x^2-x-6). Perhatikan bahwa x^2-x-6 = (x-3)(x+2).
Misalkan sisa pembagiannya adalah Ax + B, karena pembaginya berderajat 2.

p(x) = q2(x)(x^2-x-6) + (Ax + B)
p(x) = q2(x)(x-3)(x+2) + (Ax + B)

Kita sudah memiliki p(3) = 7. Substitusikan x=3 ke dalam persamaan di atas:
p(3) = q2(3)(3-3)(3+2) + (A(3) + B)
7 = q2(3)(0)(5) + 3A + B
7 = 3A + B (Persamaan 1)

Kita juga sudah memiliki p(-2) = 3. Substitusikan x=-2 ke dalam persamaan di atas:
p(-2) = q2(-2)(-2-3)(-2+2) + (A(-2) + B)
3 = q2(-2)(-5)(0) - 2A + B
3 = -2A + B (Persamaan 2)

Sekarang kita punya sistem dua persamaan linear dengan dua variabel A dan B:
1. 3A + B = 7
2. -2A + B = 3

Kurangkan Persamaan 2 dari Persamaan 1:
(3A + B) - (-2A + B) = 7 - 3
3A + B + 2A - B = 4
5A = 4
A = 4/5

Substitusikan nilai A ke Persamaan 2:
-2(4/5) + B = 3
-8/5 + B = 3
B = 3 + 8/5
B = 15/5 + 8/5
B = 23/5

Jadi, sisa pembagian p(x) oleh (x^2-x-6) adalah Ax + B = (4/5)x + 23/5.