Diketahui X1 danx2 adalah akar-akar persamaan

Tidak ada solusi real

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mencari akar-akar persamaan logaritma terlebih dahulu, yaitu $x_1$ dan $x_2$, kemudian menjumlahkannya.

Persamaan yang diberikan adalah $2\log(4^x - 6) = 3 + x$.

Langkah 1: Ubah bentuk persamaan logaritma.

Kita tahu bahwa $a \log b = \log b^a$. Jadi, $2 \log(4^x - 6) = \log((4^x - 6)^2)$.

Persamaan menjadi: $\log((4^x - 6)^2) = 3 + x$.

Untuk menghilangkan logaritma, kita asumsikan basis logaritma adalah 10 (jika tidak disebutkan secara eksplisit). Maka, kita dapat menulis ulang persamaan dalam bentuk eksponensial:

$(4^x - 6)^2 = 10^{(3+x)}$

$(4^x - 6)^2 = 10^3 \times 10^x$

$(4^x - 6)^2 = 1000 \times 10^x$

Ini adalah persamaan yang cukup kompleks untuk diselesaikan secara aljabar untuk mencari $x_1$ dan $x_2$. Namun, mari kita coba substitusi untuk mempermudah.

Misalkan $y = 4^x$. Maka $y^2 = (4^x)^2 = 4^{2x} = (4^2)^x = 16^x$. Hubungan antara $4^x$ dan $10^x$ tidak langsung.

Mari kita coba pendekatan lain dengan mengubah basis logaritma ke basis 2 atau basis 10. Jika kita menggunakan basis 10:

$\frac{\log(4^x - 6)}{\log 2} = 3 + x$

$\log(4^x - 6) = (3 + x) \log 2$

$\log(4^x - 6) = \log(2^{(3+x)})$

$4^x - 6 = 2^{(3+x)}$

$4^x - 6 = 2^3 \times 2^x$

$4^x - 6 = 8 \times 2^x$

Sekarang, kita substitusi $y = 2^x$. Maka $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 = y^2$.

Persamaan menjadi:

$y^2 - 6 = 8y$

$y^2 - 8y - 6 = 0$

Ini adalah persamaan kuadrat dalam $y$. Akar-akar dari persamaan ini, katakanlah $y_1$ dan $y_2$, berhubungan dengan $x_1$ dan $x_2$ melalui $y = 2^x$.

Jadi, $y_1 = 2^{x_1}$ dan $y_2 = 2^{x_2}$.

Dari sifat akar-akar persamaan kuadrat $ay^2 + by + c = 0$, hasil kali akar-akarnya adalah $y_1 y_2 = c/a$.

Dalam persamaan $y^2 - 8y - 6 = 0$, kita punya $a=1$, $b=-8$, dan $c=-6$.

Maka, $y_1 y_2 = -6/1 = -6$.

Sekarang kita substitusikan kembali $y_1 = 2^{x_1}$ dan $y_2 = 2^{x_2}$:

$2^{x_1} \times 2^{x_2} = -6$

$2^{(x_1 + x_2)} = -6$

Namun, hasil dari $2$ dipangkatkan bilangan real selalu positif. Tidak ada nilai real $x_1 + x_2$ yang memenuhi $2^{(x_1 + x_2)} = -6$. Ini menunjukkan bahwa mungkin ada kesalahan dalam asumsi basis logaritma atau dalam soal itu sendiri, atau akar-akarnya adalah bilangan kompleks.

Jika kita mengasumsikan bahwa soal ini ditujukan untuk konteks bilangan real dan ada kesalahan dalam penulisan soal sehingga seharusnya menghasilkan akar real, mari kita periksa kembali langkah-langkahnya.

Jika kita mengasumsikan basis logaritma adalah 2:
$2 	imes 2 	ext{log}_2(4^x - 6) = 3 + x$
$4 	ext{log}_2(4^x - 6) = 3 + x$
$	ext{log}_2((4^x - 6)^4) = 3 + x$
$(4^x - 6)^4 = 2^{3+x}$
Ini juga menjadi lebih rumit.

Mari kita kembali ke asumsi basis 10 dan $4^x - 6 = 8 	imes 2^x$, yang menghasilkan $y^2 - 8y - 6 = 0$ dengan $y=2^x$.

Diskriminan persamaan kuadrat ini adalah $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4(1)(-6) = 64 + 24 = 88$. Karena $D > 0$, ada dua akar real untuk $y$.

$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{88}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{22}}{2} = 4 \pm \sqrt{22}$.

Karena $y = 2^x$, maka $y$ harus positif. Kedua nilai $4 + \sqrt{22}$ dan $4 - \sqrt{22}$ harus diperiksa.
$\\sqrt{22}$ kira-kira 4.69.
$y_1 = 4 + 4.69 = 8.69 > 0$
$y_2 = 4 - 4.69 = -0.69 < 0$.

Karena $y = 2^x$ harus positif, maka hanya $y_1 = 4 + \sqrt{22}$ yang valid. Ini berarti hanya ada satu nilai $x$ yang memenuhi persamaan ini, bukan dua akar $x_1$ dan $x_2$.

Ini menunjukkan kemungkinan besar ada kesalahan dalam soal yang diberikan, karena biasanya soal meminta nilai $x_1+x_2$ ketika ada dua akar.

Jika kita mengabaikan syarat domain logaritma dan hanya melihat bentuk $2^{(x_1+x_2)} = -6$, maka tidak ada solusi real.

Namun, jika kita mengasumsikan ada kesalahan pengetikan dan seharusnya persamaannya adalah $2^{x_1+x_2} = 64$ atau sesuatu yang menghasilkan hasil positif, maka kita bisa melanjutkan.

Misalkan, jika soalnya menghasilkan $y_1 y_2 = 64$, maka $2^{x_1+x_2} = 64 = 2^6$, sehingga $x_1+x_2 = 6$.

Dengan informasi yang diberikan, dan asumsi basis logaritma 10, kita mendapatkan $2^{x_1+x_2} = -6$, yang tidak memiliki solusi real. Jika kita harus memberikan jawaban berdasarkan proses yang valid, maka kita harus menyatakan tidak ada solusi real untuk $x_1+x_2$.

Mari kita coba asumsi lain: mungkin basis logaritma adalah 4.
$2 	ext{log}_4(4^x - 6) = 3 + x$
$	ext{log}_4((4^x - 6)^2) = 3 + x$
$(4^x - 6)^2 = 4^{3+x}$
$(4^x - 6)^2 = 4^3 	imes 4^x$
$(4^x - 6)^2 = 64 	imes 4^x$
Misal $y = 4^x$.
$(y - 6)^2 = 64y$
$y^2 - 12y + 36 = 64y$
$y^2 - 76y + 36 = 0$

Untuk persamaan kuadrat $ay^2 + by + c = 0$, hasil kali akar $y_1 y_2 = c/a$.
Di sini $a=1, c=36$. Maka $y_1 y_2 = 36$.
$y_1 = 4^{x_1}$ dan $y_2 = 4^{x_2}$.
$4^{x_1} 	imes 4^{x_2} = 36$
$4^{x_1+x_2} = 36$
$(x_1+x_2) 	ext{log} 4 = 	ext{log} 36$
$x_1+x_2 = \frac{\text{log} 36}{\text{log} 4} = \text{log}_4 36$
$x_1+x_2 = \text{log}_{2^2} 6^2 = \frac{2}{2} 	ext{log}_2 6 = 	ext{log}_2 6$. Ini juga bukan jawaban yang umum.

Mari kita kembali ke persamaan $y^2 - 8y - 6 = 0$ (asumsi basis 10) di mana $y=2^x$. Kita mendapatkan $y_1 y_2 = -6$. Jika soal dimaksudkan untuk memiliki solusi yang mudah, mungkin ada kesalahan ketik pada konstanta atau basis logaritma.

Jika kita berasumsi soal ini valid dan mencari $x_1+x_2$ dari akar kompleks, maka kita perlu menggunakan $2^{x_1+x_2} = -6$. Dengan $x = a + bi$, $2^x = 2^a 2^{bi} = 2^a (\cos(b \ln 2) + i \sin(b \ln 2))$. Ini akan sangat rumit.

Kemungkinan besar, ada kesalahan dalam penulisan soal ini. Namun, jika kita harus mengikuti prosedur standar untuk soal yang menanyakan $x_1+x_2$ dari persamaan logaritma yang mengarah ke kuadrat substitusi $y=a^x$, kita menggunakan sifat hasil kali akar $y_1 y_2 = c/a$ yang mengarah pada $a^{x_1+x_2}$.

Dalam kasus $y^2 - 8y - 6 = 0$ dengan $y=2^x$, kita dapatkan $2^{x_1+x_2} = -6$, yang tidak ada solusi real.

Namun, jika kita perhatikan soal asli, mungkin ada kesalahan pada angka 6 atau 3. Jika kita ubah sedikit soalnya, misalnya menjadi $2	ext{log}(4^x + 6)=3+x$. Maka $(4^x+6)^2 = 10^{3+x}$. Jika $y=4^x$, $(y+6)^2 = 1000 	imes 10^x$. Masih rumit.

Jika kita kembali ke $4^x - 6 = 8 	imes 2^x$, dan kita mengabaikan domain logaritma $4^x - 6 > 0$, dan kita tetap mendapatkan $y_1 y_2 = -6$. Jika $y_1, y_2$ adalah akar dari $y^2 - 8y - 6 = 0$, maka $y_1 = 4+\sqrt{22}$ dan $y_2 = 4-\sqrt{22}$.
Karena $y=2^x$, maka $2^{x_1} = 4+\sqrt{22}$ dan $2^{x_2} = 4-\sqrt{22}$.
Namun, $2^{x_2}$ harus positif, dan $4-\sqrt{22}$ adalah negatif.

Ini menegaskan bahwa soal ini kemungkinan besar memiliki kesalahan penulisan atau berasal dari sumber yang tidak akurat.

Jika kita harus memberikan jawaban formal berdasarkan proses aljabar yang ditempuh, tetapi mengakui ketidakvalidan akar:
Dari $y^2 - 8y - 6 = 0$, dengan $y=2^x$, kita mendapatkan $y_1 = 2^{x_1}$ dan $y_2 = 2^{x_2}$.
Hasil kali akar $y_1 y_2 = -6$. Maka $2^{x_1} 2^{x_2} = -6$, yaitu $2^{x_1+x_2} = -6$.
Karena $2^z > 0$ untuk semua $z$ real, maka tidak ada solusi real untuk $x_1+x_2$.

Jika kita terpaksa mengasumsikan ada cara lain untuk menafsirkan soal ini atau ada trik matematika yang terlewat, itu tidak jelas dari formatnya.

Namun, dalam konteks ujian standar, ketika sebuah soal menanyakan jumlah akar, dan prosesnya mengarah pada persamaan kuadrat dalam variabel substitusi seperti $y=a^x$, lalu hasil kali akar $y_1 y_2$ digunakan untuk menemukan $x_1+x_2$, maka $x_1+x_2$ biasanya dapat ditemukan.

Kesalahan fatal di sini adalah $y_1 y_2 = -6$, yang membuat $2^{x_1+x_2} = -6$, yang tidak memiliki solusi real.

Jika soalnya adalah $2 	ext{log}(6-4^x)=3+x$, maka $6-4^x = 8 	imes 2^x$. Misal $y=2^x$, $6-y^2 = 8y$. $y^2+8y-6=0$. $y_1 y_2 = -6$. Tetap sama.

Jika soalnya adalah $2 	ext{log}(4^x - 2) = 3+x$. $4^x-2 = 8 	imes 2^x$. $y^2-2 = 8y$. $y^2-8y-2=0$. $y_1 y_2 = -2$. $2^{x_1+x_2} = -2$. Tetap tidak ada solusi real.

Jika soalnya adalah $2 	ext{log}(4^x + 2) = 3+x$. $4^x+2 = 8 	imes 2^x$. $y^2+2 = 8y$. $y^2-8y+2=0$. $y_1 y_2 = 2$. $2^{x_1+x_2} = 2$. Maka $x_1+x_2 = 1$.
Dalam kasus ini, diskriminan $D = (-8)^2 - 4(1)(2) = 64 - 8 = 56 > 0$. Akar $y = \frac{8 \pm \sqrt{56}}{2} = 4 \pm \sqrt{14}$. Keduanya positif, jadi ada dua nilai $x$ yang valid.

Mengingat soalnya adalah $2	ext{log}(4^x-6)=3+x$, dan menghasilkan $2^{x_1+x_2}=-6$, maka jawaban yang paling jujur adalah menyatakan tidak ada solusi real.

Namun, jika kita harus memilih jawaban numerik, dan mengasumsikan ada kesalahan pengetikan dan soal yang dimaksud adalah yang menghasilkan $x_1+x_2=1$ seperti contoh di atas, maka jawaban tersebut adalah 1. Tapi ini spekulatif.

Karena saya harus memberikan jawaban yang didasarkan pada soal yang diberikan, dan prosesnya mengarah pada kesimpulan bahwa tidak ada solusi real untuk $x_1+x_2$, maka saya akan menyatakan demikian.

Jika terdapat informasi tambahan atau klarifikasi mengenai basis logaritma atau koreksi pada soal, saya dapat memberikan jawaban yang lebih akurat.

Berdasarkan analisis, soal ini kemungkinan besar mengandung kesalahan atau memerlukan pemahaman konteks matematika yang lebih luas (misalnya, akar kompleks). Dalam konteks matematika SMA untuk soal seperti ini, biasanya diharapkan ada solusi real yang mudah ditemukan.

Karena tidak ada solusi real, nilai $x_1+x_2$ tidak dapat ditentukan dalam bilangan real.