Hasil lim x->0 (4xtan 2x)/(cos^2 3x-1) adalah ...

Hasilnya adalah -8/9.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan aturan L'Hopital karena ketika kita substitusikan x=0, kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.
Limit = lim x->0 (4xtan 2x)/(cos^2 3x-1)

Turunan dari pembilang (4xtan 2x) adalah:
d/dx (4x tan 2x) = (d/dx 4x) * tan 2x + 4x * (d/dx tan 2x)
= 4 * tan 2x + 4x * (sec^2 2x * 2)
= 4 tan 2x + 8x sec^2 2x

Turunan dari penyebut (cos^2 3x - 1) adalah:
d/dx (cos^2 3x - 1) = d/dx (cos 3x)^2 - d/dx 1
= 2(cos 3x) * d/dx (cos 3x) - 0
= 2 cos 3x * (-sin 3x * 3)
= -6 cos 3x sin 3x

Menggunakan identitas trigonometri 2 sin A cos A = sin 2A, kita dapat menulis ulang penyebut sebagai:
-3 * (2 sin 3x cos 3x) = -3 sin 6x

Sekarang, terapkan aturan L'Hopital:
Limit = lim x->0 (4 tan 2x + 8x sec^2 2x) / (-3 sin 6x)

Substitusikan x=0 lagi. Kita masih mendapatkan bentuk tak tentu 0/0 untuk bagian (8x sec^2 2x) / (-3 sin 6x).
Mari kita terapkan aturan L'Hopital lagi.

Turunan dari pembilang (4 tan 2x + 8x sec^2 2x) adalah:
d/dx (4 tan 2x) + d/dx (8x sec^2 2x)
= 4 sec^2 2x * 2 + [ (d/dx 8x) * sec^2 2x + 8x * d/dx (sec^2 2x) ]
= 8 sec^2 2x + [ 8 sec^2 2x + 8x * (2 sec 2x * d/dx (sec 2x)) ]
= 8 sec^2 2x + 8 sec^2 2x + 16x sec 2x * (sec 2x * tan 2x * 2)
= 16 sec^2 2x + 32x sec^2 2x tan 2x

Turunan dari penyebut (-3 sin 6x) adalah:
d/dx (-3 sin 6x) = -3 * cos 6x * 6 = -18 cos 6x

Sekarang, terapkan aturan L'Hopital lagi:
Limit = lim x->0 (16 sec^2 2x + 32x sec^2 2x tan 2x) / (-18 cos 6x)

Substitusikan x=0:
Pembilang = 16 sec^2(0) + 32(0) sec^2(0) tan(0) = 16 * (1)^2 + 0 = 16
Penyebut = -18 cos(0) = -18 * 1 = -18

Limit = 16 / -18 = -8/9

Cara alternatif menggunakan limit standar:
Limit = lim x->0 (4xtan 2x)/(cos^2 3x-1)
Kita tahu bahwa lim x->0 (tan ax)/ax = 1 dan lim x->0 (1-cos bx)/bx^2 = 1/2.

Limit = lim x->0 (4x * (2x/2x) * tan 2x) / -(1 - cos^2 3x)
= lim x->0 (4x * tan 2x) / -(sin^2 3x)
= lim x->0 (4x * tan 2x) / -( (3x)^2 * (sin 3x / 3x)^2 )
= lim x->0 (4x * tan 2x) / -( 9x^2 * (sin 3x / 3x)^2 )

Kita juga tahu bahwa lim x->0 (tan ax)/ax = 1.
Limit = lim x->0 (4x * (tan 2x / 2x) * 2x) / -( 9x^2 * (sin 3x / 3x)^2 )
= lim x->0 (8x^2 * (tan 2x / 2x)) / -( 9x^2 * (sin 3x / 3x)^2 )

Bagilah pembilang dan penyebut dengan x^2:
= lim x->0 (8 * (tan 2x / 2x)) / -( 9 * (sin 3x / 3x)^2 )

Sekarang gunakan limit standar:
= (8 * 1) / -( 9 * (1)^2 )
= 8 / -9
= -8/9