Hitunglah nilai limit berikut! limit n mendekati tak hingga

e^(-6)

Pembahasan

Untuk menghitung nilai dari limit n mendekati tak hingga (n / (2 + n))^(3n), kita dapat menggunakan sifat-sifat limit dan bentuk umum limit yang mendekati (1 + 1/n)^n atau e.

Limit yang diberikan adalah: lim (n→∞) [n / (2 + n)]^(3n)

Kita bisa menulis ulang basisnya:
n / (2 + n) = n / (n * (2/n + 1)) = 1 / (1 + 2/n)

Jadi, limitnya menjadi: lim (n→∞) [1 / (1 + 2/n)]^(3n)

Ini bisa ditulis sebagai: lim (n→∞) [ (1 + 2/n)^(-1) ]^(3n)
= lim (n→∞) (1 + 2/n)^(-3n)

Kita tahu bahwa lim (x→∞) (1 + k/x)^x = e^k.
Dalam kasus ini, kita memiliki (1 + 2/n)^(-3n). Agar sesuai dengan bentuk standar, kita bisa memanipulasinya:

Misalkan m = n/2, sehingga n = 2m. Ketika n → ∞, maka m → ∞.
(1 + 2/n)^(-3n) = (1 + 1/m)^(-3 * 2m)
= (1 + 1/m)^(-6m)
= [(1 + 1/m)^m]^(-6)

Sekarang kita ambil limitnya:
lim (m→∞) [(1 + 1/m)^m]^(-6)

Karena lim (m→∞) (1 + 1/m)^m = e, maka limitnya adalah:
e^(-6)
atau 1 / e^6

Jadi, nilai dari limit tersebut adalah e^(-6) atau 1/e^6.