Jika suku banyak k(x) dibagi (x+1), bersisa 32. Jika k(x)

Jumlah koefisien pangkat genap adalah 27.

Pembahasan

Misalkan suku banyak k(x) dibagi (x+1) bersisa 32, menurut Teorema Sisa, kita dapat menuliskan:
k(-1) = 32

Misalkan suku banyak k(x) dibagi (x-1) bersisa 22, menurut Teorema Sisa, kita dapat menuliskan:
k(1) = 22

Kita tahu bahwa k(1) adalah jumlah dari semua koefisien suku banyak k(x). Jadi, jumlah koefisien k(x) adalah 22.

Sekarang, kita perlu mencari jumlah koefisien dari suku-suku k(x) dengan pangkat x genap.
Misalkan k(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0.

k(1) = a_n + a_{n-1} + ... + a_1 + a_0 = 22
k(-1) = a_n (-1)^n + a_{n-1} (-1)^{n-1} + ... - a_1 + a_0 = 32

Perhatikan bahwa:
Jika n genap, (-1)^n = 1.
Jika n ganjil, (-1)^n = -1.

k(-1) = (a_n jika n genap) - (a_{n-1} jika n-1 ganjil) + (a_{n-2} jika n-2 genap) - ...

Mari kita jumlahkan k(1) dan k(-1):
k(1) + k(-1) = (a_n + a_{n-1} + ... + a_1 + a_0) + (a_n (-1)^n + a_{n-1} (-1)^{n-1} + ... + a_1(-1) + a_0)

Jika kita menjumlahkan k(1) dan k(-1):
k(1) + k(-1) = 22 + 32 = 54

Mari kita pisahkan koefisien pangkat genap dan ganjil:
Misalkan S_genap = jumlah koefisien dengan pangkat x genap (a_0 + a_2 + a_4 + ...)
Misalkan S_ganjil = jumlah koefisien dengan pangkat x ganjil (a_1 + a_3 + a_5 + ...)

k(1) = S_genap + S_ganjil = 22
k(-1) = S_genap - S_ganjil = 32

Untuk mencari S_genap, kita dapat menjumlahkan kedua persamaan:
(S_genap + S_ganjil) + (S_genap - S_ganjil) = 22 + 32
2 * S_genap = 54
S_genap = 54 / 2
S_genap = 27

Jadi, jumlah koefisien dari suku-suku k(x) dengan pangkat x genap adalah 27.