Jika xn+2=xn+p , dengan p =/= 0 , untuk sembarang bilangan

nx2 + n^2p

Pembahasan

Diberikan hubungan rekursif xn+2 = xn + p, dengan p ≠ 0.
Kita dapat menjabarkan beberapa suku pertama:
x3 = x1 + p
x4 = x2 + p
x5 = x3 + p = (x1 + p) + p = x1 + 2p
x6 = x4 + p = (x2 + p) + p = x2 + 2p
x7 = x5 + p = (x1 + 2p) + p = x1 + 3p
x8 = x6 + p = (x2 + 2p) + p = x2 + 3p

Dari pola ini, kita bisa melihat bahwa:
Suku dengan indeks genap: x4 = x2 + p, x8 = x2 + 3p, ...
Suku dengan indeks ganjil: x5 = x1 + 2p, x9 = x1 + 4p, ...

Namun, soal meminta nilai dari x4 + x8 + x12 + ... + x4n.
Ini adalah deret aritmatika dengan suku-suku yang indeksnya adalah kelipatan 4.
Mari kita cari hubungan antara suku-suku ini.

x4 = x2 + p
x8 = x4 + x6 = (x2 + p) + (x4 + p) = (x2 + p) + ((x2+p) + p) = x2 + 3p
Ini tidak membentuk deret aritmatika yang sederhana.

Mari kita asumsikan bahwa indeks yang dimaksud adalah kelipatan 4 dari suatu urutan.
Jika kita melihat penambahannya:
xn+2 = xn + p
maka xn+4 = xn+2 + p = (xn + p) + p = xn + 2p.
Ini menunjukkan bahwa setiap penambahan 4 pada indeks akan menambah 2p pada nilai.

Jadi, urutan x4, x8, x12, ..., x4n adalah:
x4
x8 = x4 + 2p
x12 = x8 + 2p = x4 + 2(2p) = x4 + 4p
x16 = x12 + 2p = x4 + 3(2p) = x4 + 6p

Ini adalah deret aritmatika dengan suku pertama a = x4 dan beda b = 2p.
Jumlah suku dalam deret ini adalah n, karena indeksnya adalah 4*1, 4*2, ..., 4*n.

Rumus jumlah deret aritmatika adalah Sn = (n/2) * (2a + (n-1)b).
Dalam kasus ini:
Sn = (n/2) * (2*x4 + (n-1)*(2p))
Sn = (n/2) * 2 * (x4 + (n-1)p)
Sn = n * (x4 + (n-1)p)

Namun, kita perlu mengetahui nilai x4 dan x2 dari informasi awal.
Karena xn+2 = xn + p, ini berarti perbandingan antara suku yang berurutan dengan selisih 2 indeks adalah konstan.
Ini mengindikasikan adanya dua deret aritmatika yang terpisah, satu untuk indeks ganjil dan satu untuk indeks genap.

Untuk indeks genap: x2, x4, x6, x8, ...
x4 = x2 + p
x6 = x4 + p = x2 + 2p
x8 = x6 + p = x2 + 3p

Jadi, deret x4, x8, x12, ..., x4n adalah:
Suku pertama (a) = x4 = x2 + p
Beda (d) = x8 - x4 = (x2 + 3p) - (x2 + p) = 2p
Jumlah suku = n

Maka, jumlahnya adalah:
Sum = (n/2) * [2*a + (n-1)*d]
Sum = (n/2) * [2*(x2 + p) + (n-1)*(2p)]
Sum = (n/2) * [2x2 + 2p + 2pn - 2p]
Sum = (n/2) * [2x2 + 2pn]
Sum = n * (x2 + pn)
Sum = nx2 + n^2p

Jika kita mencoba menyederhanakan hubungan xn+2 = xn + p, ini menunjukkan bahwa setiap dua langkah indeks, nilainya bertambah p. Jika kita ingin melompat 4 indeks, maka penambahannya adalah 2p.
Jadi x(n+4) = xn + 2p.

Deret yang diberikan adalah x4, x8, x12, ..., x4n. Ini adalah deret aritmatika dengan suku pertama x4 dan beda 2p. Terdapat n suku.

Jumlah = (n/2) * [2*x4 + (n-1)*2p]
Jumlah = (n/2) * 2 * [x4 + (n-1)*p]
Jumlah = n * [x4 + (n-1)*p]
Jumlah = n*x4 + n(n-1)p

Karena x4 = x2 + p, substitusikan:
Jumlah = n*(x2 + p) + n(n-1)p
Jumlah = nx2 + np + n^2p - np
Jumlah = nx2 + n^2p