Jika y=(2x^2+3)/(x) , buktikan bahwa: (x^2 d^2

Terbukti.

Pembahasan

Untuk membuktikan persamaan y=(2x^2+3)/x, kita perlu mencari turunan pertama (dy/dx) dan turunan kedua (d^2y/dx^2) dari y, lalu mensubstitusikannya ke dalam persamaan yang diberikan.

Langkah 1: Cari turunan pertama (dy/dx).
Kita bisa menulis ulang y sebagai y = 2x + 3/x = 2x + 3x⁻¹.
Menggunakan aturan turunan:
dy/dx = d/dx (2x) + d/dx (3x⁻¹)
dy/dx = 2 + 3(-1)x⁻²
dy/dx = 2 - 3x⁻²
dy/dx = 2 - 3/x²

Langkah 2: Cari turunan kedua (d^2y/dx^2).
Turunan kedua adalah turunan dari dy/dx.
d²y/dx² = d/dx (2 - 3x⁻²)
d²y/dx² = 0 - 3(-2)x⁻³
d²y/dx² = 6x⁻³
d²y/dx² = 6/x³

Langkah 3: Substitusikan dy/dx dan d²y/dx² ke dalam persamaan (x² d²y/dx²) + x(dy/dx) = y.
Sisi kiri persamaan:
(x² * (6/x³)) + (x * (2 - 3/x²))
= 6/x + 2x - 3/x
= 2x + 3/x

Karena y = (2x² + 3)/x = 2x + 3/x, maka sisi kiri persamaan sama dengan sisi kanan persamaan.

Jadi, terbukti bahwa (x² d²y/dx²) + x(dy/dx) = y.