lim x->0 (1-cos mx)/(1-cos nx)= ...

m²/n²

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan identitas trigonometri dan sifat limit. Soal yang diberikan adalah:
lim x->0 (1-cos mx)/(1-cos nx)

Kita tahu bahwa identitas trigonometri untuk cosinus adalah: 1 - cos(2θ) = 2 sin²(θ).
Maka, 1 - cos(mx) = 2 sin²(mx/2) dan 1 - cos(nx) = 2 sin²(nx/2).

Mengganti identitas ke dalam limit:
lim x->0 [2 sin²(mx/2)] / [2 sin²(nx/2)]
= lim x->0 [sin²(mx/2)] / [sin²(nx/2)]

Kita juga tahu bahwa untuk x mendekati 0, sin(ax)/ax mendekati 1. Oleh karena itu, sin(ax) ≈ ax.
Maka, sin²(mx/2) ≈ (mx/2)² dan sin²(nx/2) ≈ (nx/2)².

Mengganti aproksimasi ini ke dalam limit:
= lim x->0 [(mx/2)²] / [(nx/2)²]
= lim x->0 [m²x²/4] / [n²x²/4]

Kita bisa membatalkan x² dan 4:
= lim x->0 m²/n²
= m²/n²

Jadi, hasil dari lim x->0 (1-cos mx)/(1-cos nx) adalah m²/n².