Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 12Kelas 11mathKalkulus

lim _(x -> 0) (2-2 cos 3 x)/(tan ^(2) 2 x)=...

Pertanyaan

Tentukan nilai dari limit berikut: lim (2 - 2 cos 3x) / (tan^2 2x) ketika x mendekati 0.

Solusi

Verified

Nilai limitnya adalah 9/4.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita bisa menggunakan aturan L'Hopital karena bentuknya adalah 0/0 jika kita substitusikan x=0. lim (2 - 2 cos 3x) / (tan^2 2x) x -> 0 Substitusikan x = 0: (2 - 2 cos(0)) / (tan^2(0)) (2 - 2 * 1) / (0^2) (2 - 2) / 0 0 / 0 Karena bentuknya 0/0, kita turunkan pembilang dan penyebutnya: Turunan pembilang (2 - 2 cos 3x) adalah: 0 - 2 * (-sin 3x) * 3 = 6 sin 3x Turunan penyebut (tan^2 2x) adalah: 2 * tan(2x) * sec^2(2x) * 2 = 4 tan(2x) sec^2(2x) Maka limitnya menjadi: lim (6 sin 3x) / (4 tan 2x sec^2 2x) x -> 0 Kita bisa memecahnya menjadi: lim (6/4) * lim (sin 3x / tan 2x) * lim (1 / sec^2 2x) x -> 0 x -> 0 x -> 0 Kita tahu bahwa lim (sin ax / bx) = a/b dan lim (tan cx / dx) = c/d. lim (sin 3x / tan 2x) = lim (sin 3x / x) * (x / tan 2x) = (3/1) * (1/(2/1)) = 3 * (1/2) = 3/2 Dan lim (1 / sec^2 2x) = lim (cos^2 2x) = cos^2(0) = 1^2 = 1. x -> 0 x -> 0 Jadi, limitnya adalah: (6/4) * (3/2) * 1 (3/2) * (3/2) * 1 9/4 Alternatif lain, kita bisa menggunakan identitas trigonometri dan aproksimasi: Untuk x dekat 0, sin(ax) ≈ ax dan tan(bx) ≈ bx. lim (2 - 2 cos 3x) / (tan^2 2x) x -> 0 Kita gunakan identitas 1 - cos(2θ) = 2 sin^2(θ). Maka, 1 - cos(3x) = 2 sin^2(3x/2). Sehingga, 2 - 2 cos 3x = 2(1 - cos 3x) = 2(2 sin^2(3x/2)) = 4 sin^2(3x/2). Limit menjadi: lim (4 sin^2(3x/2)) / (tan^2 2x) x -> 0 Kita bisa tulis ulang sebagai: lim [ (2 sin(3x/2)) / (tan 2x) ]^2 x -> 0 Gunakan aproksimasi sin(u) ≈ u dan tan(v) ≈ v untuk u, v mendekati 0: lim [ (2 * (3x/2)) / (2x) ]^2 x -> 0 lim [ (3x) / (2x) ]^2 x -> 0 lim [ 3/2 ]^2 x -> 0 (3/2)^2 = 9/4

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Limit Fungsi
Section: Limit Fungsi Trigonometri

Apakah jawaban ini membantu?