Misalkan n bilangan 5 angka, dan misalkan q dan r

8181

Pembahasan

Untuk mencari nilai n yang q+r habis dibagi 11, kita perlu memahami hubungan antara n, q, dan r. Diketahui n adalah bilangan 5 angka, yang dapat ditulis sebagai n = 100q + r, di mana q adalah hasil bagi dan r adalah sisa ketika n dibagi 100. Ini berarti 0 ≤ r < 100.

Kita ingin mencari nilai n sehingga q+r habis dibagi 11. Ini berarti q+r = 11k untuk suatu bilangan bulat k.

Karena n adalah bilangan 5 angka, maka 10000 ≤ n ≤ 99999.
Dari n = 100q + r, kita dapat menyimpulkan bahwa 10000 ≤ 100q + r ≤ 99999.
Karena 0 ≤ r < 100, maka:
10000 ≤ 100q + r < 100q + 100

Mengabaikan r untuk estimasi kasar:
10000 ≤ 100q  => q ≥ 100
100q + 100 > 99999 => 100q > 99899 => q > 998.99 => q ≥ 999

Jadi, nilai q berkisar antara 100 hingga 999.

Sekarang kita punya kondisi q+r = 11k.
Kita bisa mengganti r = 11k - q ke dalam persamaan n = 100q + r:
n = 100q + (11k - q)
n = 99q + 11k

Karena 0 ≤ r < 100, maka:
0 ≤ 11k - q < 100
q ≤ 11k < 100 + q

Kita perlu mencari pasangan (q, k) yang memenuhi kondisi ini dan menghasilkan n sebagai bilangan 5 angka.

Mari kita uji beberapa nilai q:
Jika q = 100, maka 100 ≤ 11k < 200. Nilai 11k yang mungkin adalah 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198. Nilai k yang sesuai adalah 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18. Untuk setiap k, kita dapat menghitung r = 11k - q. 
Contoh: Jika q=100, k=10, maka r = 11*10 - 100 = 10. n = 100*100 + 10 = 10010. q+r = 100+10 = 110, yang habis dibagi 11. Nilai n ini valid.

Jika q = 999, maka 999 ≤ 11k < 1099. Nilai 11k yang mungkin adalah 1100, 1111, ..., 1199. Nilai k yang sesuai adalah 100, 101, ..., 109. Untuk setiap k, kita dapat menghitung r = 11k - q. 
Contoh: Jika q=999, k=100, maka r = 11*100 - 999 = 1100 - 999 = 101. Ini tidak valid karena r harus < 100.
Jika q=999, k=109, maka r = 11*109 - 999 = 1199 - 999 = 200. Ini juga tidak valid.
Jika q=999, kita perlu 11k < 100+999 = 1099. Jadi k ≤ 99. Jika k=99, r = 11*99 - 999 = 1089 - 999 = 90. n = 100*999 + 90 = 99900 + 90 = 99990. q+r = 999+90 = 1089. 1089 / 11 = 99. Nilai n ini valid.

Untuk menghitung jumlah total nilai n, kita perlu menghitung berapa banyak pasangan (q, r) yang memenuhi kondisi.

Kondisi: 10000 ≤ 100q + r ≤ 99999, 0 ≤ r < 100, dan q+r = 11k.
Kita dapat menuliskan q = 11k - r.
Substitusikan ke dalam rentang n:
10000 ≤ 100(11k - r) + r ≤ 99999
10000 ≤ 1100k - 100r + r ≤ 99999
10000 ≤ 1100k - 99r ≤ 99999

Juga kita punya 0 ≤ r < 100.
Dan q = 11k - r harus memenuhi 100 ≤ q ≤ 999.
100 ≤ 11k - r ≤ 999
100 + r ≤ 11k ≤ 999 + r

Karena 0 ≤ r < 100:
100 ≤ 11k ≤ 1099
100/11 ≤ k ≤ 1099/11
9.09 ≤ k ≤ 99.91
Jadi, k berkisar dari 10 hingga 99.

Untuk setiap nilai k dari 10 hingga 99, kita perlu mencari nilai r (0 ≤ r < 100) sedemikian rupa sehingga q = 11k - r memenuhi 100 ≤ q ≤ 999.

Mari kita analisis rentang k:
Jika k = 10, maka q = 110 - r. Kita perlu 100 ≤ 110 - r ≤ 999. 
100 ≤ 110 - r => r ≤ 10.
110 - r ≤ 999 => -r ≤ 889 => r ≥ -889 (selalu benar karena r ≥ 0).
Jadi, untuk k=10, r bisa dari 0 hingga 10 (11 nilai).

Jika k = 99, maka q = 11*99 - r = 1089 - r. Kita perlu 100 ≤ 1089 - r ≤ 999.
100 ≤ 1089 - r => r ≤ 989 (selalu benar karena r < 100).
1089 - r ≤ 999 => 90 ≤ r.
Jadi, untuk k=99, r bisa dari 90 hingga 99 (10 nilai).

Untuk setiap nilai k, jumlah nilai r yang mungkin adalah: (11k - 100) - 0 + 1 = 11k - 99 jika 11k - 100 < 100, atau 100 - 0 = 100 jika 11k - 100 ≥ 100.
Lebih tepatnya, rentang r adalah: max(0, 11k - 999) ≤ r ≤ min(99, 11k - 100).

Mari kita gunakan pendekatan lain. q berkisar dari 100 hingga 999. 
Untuk setiap q, kita perlu mencari r (0 ≤ r < 100) sehingga q+r habis dibagi 11.
Ini berarti q+r ≡ 0 (mod 11).
Atau r ≡ -q (mod 11).

Untuk setiap nilai q, ada tepat satu nilai r dalam rentang 0 hingga 10 yang memenuhi r ≡ -q (mod 11).
Namun, kita perlu r dalam rentang 0 hingga 99.

Jika q mod 11 = x, maka kita perlu r mod 11 = (11-x) mod 11.

Contoh:
Jika q = 100, q mod 11 = 1. Kita perlu r mod 11 = 10. Nilai r yang memenuhi adalah 10, 21, 32, 43, 54, 65, 76, 87, 98. Ada 9 nilai r.
n = 100*100 + 10 = 10010. q+r = 110. Valid.
n = 100*100 + 21 = 10021. q+r = 121. Valid.
...
n = 100*100 + 98 = 10098. q+r = 198. Valid.

Jadi, untuk setiap q, ada beberapa nilai r yang memenuhi.

Mari kita gunakan kembali q+r = 11k.
Untuk q dari 100 hingga 999 (900 nilai).

Ketika q = 100, r bisa 10, 21, ..., 98 (9 nilai).
Ketika q = 101, q mod 11 = 2. r mod 11 = 9. r bisa 9, 20, ..., 97 (9 nilai).
Ketika q = 109, q mod 11 = 10. r mod 11 = 1. r bisa 1, 12, ..., 90 (9 nilai).
Ketika q = 110, q mod 11 = 0. r mod 11 = 0. r bisa 0, 11, ..., 99 (10 nilai).
Ketika q = 111, q mod 11 = 1. r mod 11 = 10. r bisa 10, 21, ..., 98 (9 nilai).

Setiap kali q bertambah 11, jumlah nilai r yang mungkin tetap sama (9 atau 10).

Mari kita hitung jumlah q yang habis dibagi 11:
q = 110, 121, ..., 990. (990-110)/11 + 1 = 880/11 + 1 = 80 + 1 = 81 nilai.
Untuk 81 nilai q ini, q mod 11 = 0. Maka r mod 11 = 0. r bisa 0, 11, ..., 99 (10 nilai).
Total n = 81 * 10 = 810.

Mari kita hitung jumlah q yang q mod 11 = 1:
q = 100, 111, ..., 989. (989-100)/11 + 1 = 889/11 + 1. Ini tidak bulat. Perlu hati-hati.
Cara menghitung q yang q mod 11 = x:
 q = 11m + x.
 100 ≤ 11m + x ≤ 999
 (100-x)/11 ≤ m ≤ (999-x)/11

Jika q mod 11 = 1 (x=1): (99)/11 ≤ m ≤ (998)/11 => 9 ≤ m ≤ 90.72 => m dari 9 hingga 90. Jumlah m = 90 - 9 + 1 = 82 nilai.
Untuk 82 nilai q ini, q mod 11 = 1. Maka r mod 11 = 10. r bisa 10, 21, ..., 98 (9 nilai).
Total n = 82 * 9 = 738.

Jika q mod 11 = 2 (x=2): (98)/11 ≤ m ≤ (997)/11 => 8.9 ≤ m ≤ 90.63 => m dari 9 hingga 90. Jumlah m = 90 - 9 + 1 = 82 nilai.
Untuk 82 nilai q ini, q mod 11 = 2. Maka r mod 11 = 9. r bisa 9, 20, ..., 97 (9 nilai).
Total n = 82 * 9 = 738.

Jika q mod 11 = 10 (x=10): (90)/11 ≤ m ≤ (989)/11 => 8.18 ≤ m ≤ 90 => m dari 9 hingga 90. Jumlah m = 90 - 9 + 1 = 82 nilai.
Untuk 82 nilai q ini, q mod 11 = 10. Maka r mod 11 = 1. r bisa 1, 12, ..., 90 (9 nilai).
Total n = 82 * 9 = 738.

Untuk q mod 11 = 1, 2, ..., 10, ada 82 nilai q untuk masing-masing.
Ada 10 kasus seperti ini. Total n = 10 * 82 * 9 = 7360.

Untuk q mod 11 = 0, ada 81 nilai q. Untuk nilai q ini, ada 10 nilai r.
Total n = 81 * 10 = 810.

Total nilai n = 7360 + 810 = 8170.

Mari kita verifikasi ulang.
Rentang q adalah [100, 999].
Jumlah q = 999 - 100 + 1 = 900.

Kita bisa mengelompokkan q berdasarkan sisanya ketika dibagi 11.
- q ≡ 0 (mod 11): 110, 121, ..., 990. Ada 81 nilai. Untuk nilai-nilai ini, r ≡ 0 (mod 11). r = 0, 11, ..., 99 (10 nilai). Total = 81 * 10 = 810.
- q ≡ 1 (mod 11): 100, 111, ..., 989. Ada 82 nilai. Untuk nilai-nilai ini, r ≡ 10 (mod 11). r = 10, 21, ..., 98 (9 nilai). Total = 82 * 9 = 738.
- q ≡ 2 (mod 11): 101, 112, ..., 991. Ada 82 nilai. Untuk nilai-nilai ini, r ≡ 9 (mod 11). r = 9, 20, ..., 97 (9 nilai). Total = 82 * 9 = 738.
- q ≡ 3 (mod 11): 102, 113, ..., 992. Ada 82 nilai. Untuk nilai-nilai ini, r ≡ 8 (mod 11). r = 8, 19, ..., 96 (9 nilai). Total = 82 * 9 = 738.
- q ≡ 4 (mod 11): 103, 114, ..., 993. Ada 82 nilai. Untuk nilai-nilai ini, r ≡ 7 (mod 11). r = 7, 18, ..., 95 (9 nilai). Total = 82 * 9 = 738.
- q ≡ 5 (mod 11): 104, 115, ..., 994. Ada 82 nilai. Untuk nilai-nilai ini, r ≡ 6 (mod 11). r = 6, 17, ..., 94 (9 nilai). Total = 82 * 9 = 738.
- q ≡ 6 (mod 11): 105, 116, ..., 995. Ada 82 nilai. Untuk nilai-nilai ini, r ≡ 5 (mod 11). r = 5, 16, ..., 93 (9 nilai). Total = 82 * 9 = 738.
- q ≡ 7 (mod 11): 106, 117, ..., 996. Ada 82 nilai. Untuk nilai-nilai ini, r ≡ 4 (mod 11). r = 4, 15, ..., 92 (9 nilai). Total = 82 * 9 = 738.
- q ≡ 8 (mod 11): 107, 118, ..., 997. Ada 82 nilai. Untuk nilai-nilai ini, r ≡ 3 (mod 11). r = 3, 14, ..., 91 (9 nilai). Total = 82 * 9 = 738.
- q ≡ 9 (mod 11): 108, 119, ..., 998. Ada 82 nilai. Untuk nilai-nilai ini, r ≡ 2 (mod 11). r = 2, 13, ..., 90 (9 nilai). Total = 82 * 9 = 738.
- q ≡ 10 (mod 11): 109, 120, ..., 999. Ada 82 nilai. Untuk nilai-nilai ini, r ≡ 1 (mod 11). r = 1, 12, ..., 89 (9 nilai). Total = 82 * 9 = 738.

Jumlah total nilai n = 810 (untuk q ≡ 0 mod 11) + 9 * 738 (untuk q ≡ 1 sampai 10 mod 11).
Total = 810 + 6642 = 7452.

Perhitungan jumlah q:
Untuk q mod 11 = 0, q = 110, ..., 990. (990-110)/11 + 1 = 81.
Untuk q mod 11 = 1, q = 100, ..., 989. q = 11m+1. 100 <= 11m+1 <= 999. 99 <= 11m <= 998. 9 <= m <= 90.72. m = 9..90. Jumlah = 82.
Untuk q mod 11 = 10, q = 109, ..., 999. q = 11m+10. 100 <= 11m+10 <= 999. 90 <= 11m <= 989. 8.18 <= m <= 89.9. m = 9..89. Jumlah = 89 - 9 + 1 = 81. SEBELUMNYA SALAH.

Mari kita hitung ulang jumlah q untuk setiap modulo:
q mod 11:
100 mod 11 = 1
101 mod 11 = 2
...
109 mod 11 = 10
110 mod 11 = 0

Kelompok q berdasarkan mod 11:
Mod 0: 110, 121, ..., 990. Jumlah = (990-110)/11 + 1 = 81.
Mod 1: 100, 111, ..., 989. Jumlah = (989-100)/11 + 1 = 82.
Mod 2: 101, 112, ..., 991. Jumlah = (991-101)/11 + 1 = 82.
...
Mod 9: 107, 118, ..., 997. Jumlah = (997-107)/11 + 1 = 82.
Mod 10: 109, 120, ..., 999. Jumlah = (999-109)/11 + 1 = 82.

Jadi, ada 1 sisa (mod 0) dengan 81 nilai q. Dan 10 sisa (mod 1-10) dengan 82 nilai q.
Total nilai q = 81 + 10 * 82 = 81 + 820 = 901. Ini salah, seharusnya 900.

Mari kita cek rentang q lagi: 100 hingga 999.
Jumlah q yang ≡ 0 (mod 11): 110, 121, ..., 990. Ada 81.
Jumlah q yang ≡ 1 (mod 11): 100, 111, ..., 989. Ada 82.
Jumlah q yang ≡ 2 (mod 11): 101, 112, ..., 991. Ada 82.
...
Jumlah q yang ≡ 10 (mod 11): 109, 120, ..., 999. Ada 82.

Total q = 81 (untuk mod 0) + 82*10 (untuk mod 1-10) = 81 + 820 = 901. Masih salah.

Ada kesalahan dalam menghitung jumlah q.
Rentang [100, 999].
Jumlah bilangan = 900.
Jumlah yang habis dibagi 11: floor(999/11) - floor(99/11) = 90 - 9 = 81.
Jumlah yang bersisa 1: floor((999-1)/11) - floor((99-1)/11) = floor(998/11) - floor(98/11) = 90 - 8 = 82.
Jumlah yang bersisa 2: floor((999-2)/11) - floor((99-2)/11) = floor(997/11) - floor(97/11) = 90 - 8 = 82.
...
Jumlah yang bersisa 10: floor((999-10)/11) - floor((99-10)/11) = floor(989/11) - floor(89/11) = 89 - 8 = 81.

Ok, mari kita hitung ulang:
Mod 0: 81 nilai q. r = 0, 11, ..., 99 (10 nilai). Total = 81 * 10 = 810.
Mod 1: 82 nilai q. r = 10, 21, ..., 98 (9 nilai). Total = 82 * 9 = 738.
Mod 2: 82 nilai q. r = 9, 20, ..., 97 (9 nilai). Total = 82 * 9 = 738.
Mod 3: 82 nilai q. r = 8, 19, ..., 96 (9 nilai). Total = 82 * 9 = 738.
Mod 4: 82 nilai q. r = 7, 18, ..., 95 (9 nilai). Total = 82 * 9 = 738.
Mod 5: 82 nilai q. r = 6, 17, ..., 94 (9 nilai). Total = 82 * 9 = 738.
Mod 6: 82 nilai q. r = 5, 16, ..., 93 (9 nilai). Total = 82 * 9 = 738.
Mod 7: 82 nilai q. r = 4, 15, ..., 92 (9 nilai). Total = 82 * 9 = 738.
Mod 8: 82 nilai q. r = 3, 14, ..., 91 (9 nilai). Total = 82 * 9 = 738.
Mod 9: 82 nilai q. r = 2, 13, ..., 90 (9 nilai). Total = 82 * 9 = 738.
Mod 10: 81 nilai q. r = 1, 12, ..., 89 (9 nilai). Total = 81 * 9 = 729.

Total nilai n = 810 + 9 * 738 + 729 = 810 + 6642 + 729 = 8181.

Mari kita cek lagi jumlah q:
Jumlah q di [100, 999]. Total 900.
Bilangan yang ≡ 0 mod 11: 110, ..., 990 (81)
Bilangan yang ≡ 1 mod 11: 100, ..., 989 (82)
Bilangan yang ≡ 2 mod 11: 101, ..., 991 (82)
...
Bilangan yang ≡ 9 mod 11: 107, ..., 997 (82)
Bilangan yang ≡ 10 mod 11: 109, ..., 999 (82)

Total = 81 + 82*10 = 901. Masih ada yang salah dalam logika menghitung jumlah q.

Cara lain: n = 100q + r, 0 <= r < 100. q+r = 11k.
10000 <= n <= 99999.
10000 <= 100q + r <= 99999.

Jika q+r = 11k, maka r = 11k - q.
0 <= 11k - q < 100
q <= 11k < 100+q

Substitusi ke n:
n = 100q + 11k - q = 99q + 11k.
10000 <= 99q + 11k <= 99999.

Kita tahu q bisa dari 100 sampai 999.

Untuk setiap q, kita cari r.
Jika q mod 11 = 0, r mod 11 = 0. r = 0, 11, ..., 99 (10 nilai).
Jika q mod 11 = 1, r mod 11 = 10. r = 10, 21, ..., 98 (9 nilai).
Jika q mod 11 = 2, r mod 11 = 9. r = 9, 20, ..., 97 (9 nilai).
...
Jika q mod 11 = 10, r mod 11 = 1. r = 1, 12, ..., 89 (9 nilai).

Kita perlu menghitung berapa banyak q untuk setiap modulo.
Jumlah q = 900.

Setiap 11 nilai q berturut-turut, ada 1 nilai yang ≡ 0 (mod 11), 1 nilai ≡ 1 (mod 11), ..., 1 nilai ≡ 10 (mod 11).
900 / 11 = 81 sisa 9.

Artinya, akan ada 81 grup penuh (masing-masing 11 nilai q).
Dan 9 nilai q tambahan.

Mari kita lihat rentang q: [100, 999].
100 mod 11 = 1
101 mod 11 = 2
...
109 mod 11 = 10
110 mod 11 = 0

Jadi, 100, ..., 110 memiliki semua modulo.
100: mod 1. 101: mod 2. ... 109: mod 10. 110: mod 0.

Jumlah q yang ≡ 0 (mod 11) dalam [100, 999]: 110, ..., 990. (990-110)/11 + 1 = 81.
Jumlah q yang ≡ 1 (mod 11) dalam [100, 999]: 100, 111, ..., 989. (989-100)/11 + 1 = 82.
Jumlah q yang ≡ 2 (mod 11) dalam [100, 999]: 101, 112, ..., 991. (991-101)/11 + 1 = 82.
...
Jumlah q yang ≡ 10 (mod 11) dalam [100, 999]: 109, 120, ..., 999. (999-109)/11 + 1 = 82.

Total q = 81 (mod 0) + 82 * 10 (mod 1-10) = 81 + 820 = 901. Masih salah perhitungan jumlah.

Mari kita pakai cara lain:
Jumlah bilangan di [1, 999] yang ≡ x (mod 11) adalah floor((999-x)/11) + 1.
Jumlah bilangan di [1, 99] yang ≡ x (mod 11) adalah floor((99-x)/11) + 1.

Jumlah q di [100, 999] yang ≡ x (mod 11) = (Jumlah di [1, 999] yang ≡ x) - (Jumlah di [1, 99] yang ≡ x).

Mod 0:
[1, 999]: floor(999/11) + 1 = 90 + 1 = 91. (11, 22, ..., 990)
[1, 99]: floor(99/11) + 1 = 9 + 1 = 10. (11, 22, ..., 99)
Jumlah q ≡ 0 (mod 11) di [100, 999] = 91 - 10 = 81. (OK)

Mod 1:
[1, 999]: floor((999-1)/11) + 1 = floor(998/11) + 1 = 90 + 1 = 91. (1, 12, ..., 989)
[1, 99]: floor((99-1)/11) + 1 = floor(98/11) + 1 = 8 + 1 = 9. (1, 12, ..., 89)
Jumlah q ≡ 1 (mod 11) di [100, 999] = 91 - 9 = 82. (OK)

Mod 10:
[1, 999]: floor((999-10)/11) + 1 = floor(989/11) + 1 = 89 + 1 = 90. (10, 21, ..., 989)
[1, 99]: floor((99-10)/11) + 1 = floor(89/11) + 1 = 8 + 1 = 9. (10, 21, ..., 87)
Jumlah q ≡ 10 (mod 11) di [100, 999] = 90 - 9 = 81. (OK, sebelumnya salah hitung ini)

Jadi, jumlah q adalah:
Mod 0: 81 nilai q. r_count = 10. Total = 81 * 10 = 810.
Mod 1: 82 nilai q. r_count = 9. Total = 82 * 9 = 738.
Mod 2: 82 nilai q. r_count = 9. Total = 82 * 9 = 738.
...
Mod 9: 82 nilai q. r_count = 9. Total = 82 * 9 = 738.
Mod 10: 81 nilai q. r_count = 9. Total = 81 * 9 = 729.

Total nilai n = 810 + 9 * 738 + 729
Total = 810 + 6642 + 729 = 8181.

Final answer looks solid now.