Tentukan nilai m agar (2x^2 + mx - 15)/ (3x^2 + 2mx - 5)

Nilai m agar pecahan tersebut dapat disederhanakan adalah -7 atau 7.

Pembahasan

Agar pecahan (2x^2 + mx - 15) / (3x^2 + 2mx - 5) dapat disederhanakan, artinya pembilang dan penyebut memiliki setidaknya satu faktor linear yang sama. Ini terjadi jika mereka memiliki akar yang sama.

Misalkan akar bersama tersebut adalah 'k'. Maka, substitusi x = k ke kedua persamaan akan menghasilkan nol.

Untuk pembilang: 2k^2 + mk - 15 = 0  (Persamaan 1)
Untuk penyebut: 3k^2 + 2mk - 5 = 0   (Persamaan 2)

Kita perlu mencari nilai 'm' sehingga kedua persamaan ini memiliki solusi 'k' yang sama.

Salah satu cara untuk menyelesaikan ini adalah dengan mengeliminasi 'm' atau 'k' dari kedua persamaan.

Mari kita coba mengeliminasi 'm'. Dari Persamaan 1, kita bisa nyatakan mk = 15 - 2k^2. Maka m = (15 - 2k^2) / k.
Substitusikan ini ke Persamaan 2:
3k^2 + 2 * ((15 - 2k^2) / k) * k - 5 = 0
3k^2 + 2 * (15 - 2k^2) - 5 = 0
3k^2 + 30 - 4k^2 - 5 = 0
-k^2 + 25 = 0
k^2 = 25
k = ±5

Sekarang kita punya dua kemungkinan nilai untuk akar bersama, k = 5 atau k = -5. Kita perlu substitusikan nilai 'k' ini kembali ke salah satu persamaan untuk mencari nilai 'm'.

Kasus 1: k = 5
Substitusikan k = 5 ke Persamaan 1:
2(5)^2 + m(5) - 15 = 0
2(25) + 5m - 15 = 0
50 + 5m - 15 = 0
35 + 5m = 0
5m = -35
m = -7

Mari kita cek jika m = -7 juga memenuhi Persamaan 2 dengan k = 5:
3(5)^2 + 2(-7)(5) - 5 = 0
3(25) - 70 - 5 = 0
75 - 70 - 5 = 0
5 - 5 = 0
0 = 0
Jadi, m = -7 adalah solusi yang valid.

Kasus 2: k = -5
Substitusikan k = -5 ke Persamaan 1:
2(-5)^2 + m(-5) - 15 = 0
2(25) - 5m - 15 = 0
50 - 5m - 15 = 0
35 - 5m = 0
5m = 35
m = 7

Mari kita cek jika m = 7 juga memenuhi Persamaan 2 dengan k = -5:
3(-5)^2 + 2(7)(-5) - 5 = 0
3(25) - 70 - 5 = 0
75 - 70 - 5 = 0
5 - 5 = 0
0 = 0
Jadi, m = 7 juga adalah solusi yang valid.

Jadi, agar pecahan tersebut dapat disederhanakan, nilai m bisa -7 atau 7.