Nilai dari lim x->4 akar(x^2-x-12)/(x^2+6x-40))=...

∞

Pembahasan

Untuk mencari nilai lim x->4 akar(x^2-x-12)/(x^2+6x-40)), kita perlu menganalisis fungsi yang diberikan. Fungsi ini berbentuk akar dari suatu polinomial dibagi dengan polinomial lain. Pertama, kita substitusikan x=4 ke dalam fungsi:

Bagian pembilang: akar(4^2 - 4 - 12) = akar(16 - 4 - 12) = akar(0) = 0

Bagian penyebut: 4^2 + 6*4 - 40 = 16 + 24 - 40 = 40 - 40 = 0

Karena substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu 0/0, kita perlu menggunakan metode lain, seperti faktorisasi atau aturan L'Hopital. Mari kita coba faktorisasi:

Pembilang: akar(x^2 - x - 12) = akar((x-4)(x+3))

Penyebut: x^2 + 6x - 40 = (x+10)(x-4)

Maka, fungsi menjadi: akar((x-4)(x+3)) / ((x+10)(x-4))

Untuk x mendekati 4, x-4 akan mendekati 0. Kita bisa memisahkan akar dari (x-4).

lim x->4 [akar(x-4) * akar(x+3)] / [(x+10)(x-4)]

Kita dapat menulis (x-4) sebagai akar(x-4) * akar(x-4).

lim x->4 [akar(x-4) * akar(x+3)] / [(x+10) * akar(x-4) * akar(x-4)]

Kita bisa membatalkan satu akar(x-4) dari pembilang dan penyebut:

lim x->4 [akar(x+3)] / [(x+10) * akar(x-4)]

Sekarang, substitusikan kembali x=4:

Bagian pembilang: akar(4+3) = akar(7)

Bagian penyebut: (4+10) * akar(4-4) = 14 * akar(0) = 14 * 0 = 0

Karena penyebutnya mendekati 0 dan pembilangnya mendekati akar(7) (nilai positif), maka hasil limitnya adalah tak hingga positif (∞).

Alternatif menggunakan aturan L'Hopital:
Karena bentuknya 0/0, kita bisa turunkan pembilang dan penyebutnya.
Turunan pembilang: d/dx [akar(x^2-x-12)] = (1/2) * (x^2-x-12)^(-1/2) * (2x-1) = (2x-1) / (2 * akar(x^2-x-12))
Turunan penyebut: d/dx [x^2+6x-40] = 2x+6

Maka, limitnya menjadi: lim x->4 [(2x-1) / (2 * akar(x^2-x-12))] / (2x+6)

Substitusikan x=4:
Pembilang turunan: (2*4-1) / (2 * akar(4^2-4-12)) = 7 / (2 * akar(0)) = 7/0 -> tak hingga
Penyebut turunan: 2*4+6 = 8+6 = 14

Karena pembilang turunan mendekati tak hingga dan penyebut turunan adalah 14, maka hasil limitnya adalah tak hingga positif (∞).