Tentukan nilai x dari pertidaksamaan berikut:

x < -1 atau 0 <= x < 1 atau x > 1

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan (|x-1|)/(|x|-1) <= 1, kita perlu mempertimbangkan beberapa kasus berdasarkan nilai x.

Pertama, kita harus memastikan penyebut tidak nol, yaitu |x| - 1 != 0, yang berarti |x| != 1, sehingga x != 1 dan x != -1.

Kasus 1: x >= 1
Dalam kasus ini, |x| = x dan |x-1| = x-1. Pertidaksamaan menjadi:
(x-1)/(x-1) <= 1
1 <= 1
Ini selalu benar untuk semua x >= 1. Namun, kita harus ingat bahwa x != 1, jadi solusi dari kasus ini adalah x > 1.

Kasus 2: 0 <= x < 1
Dalam kasus ini, |x| = x dan |x-1| = -(x-1) = 1-x. Pertidaksamaan menjadi:
(1-x)/(x-1) <= 1
Karena x < 1, maka x-1 negatif. Kita bisa menulis ulang (1-x) sebagai -(x-1):
-(x-1)/(x-1) <= 1
-1 <= 1
Ini selalu benar. Namun, kita harus ingat bahwa x != 1 dan x != -1. Jadi, solusi dari kasus ini adalah 0 <= x < 1.

Kasus 3: -1 < x < 0
Dalam kasus ini, |x| = -x dan |x-1| = -(x-1) = 1-x. Pertidaksamaan menjadi:
(1-x)/(-x-1) <= 1
(1-x)/-(x+1) <= 1
Kita bisa mengalikan kedua sisi dengan -1 dan membalik tanda pertidaksamaan:
(x-1)/(x+1) >= -1
Tambahkan 1 ke kedua sisi:
(x-1)/(x+1) + 1 >= 0
(x-1 + x+1)/(x+1) >= 0
(2x)/(x+1) >= 0
Agar hasil pembagian positif, pembilang dan penyebut harus memiliki tanda yang sama.
   Subkasus 3a: 2x >= 0 DAN x+1 > 0
      x >= 0 DAN x > -1. Irisannya adalah x >= 0.
   Subkasus 3b: 2x <= 0 DAN x+1 < 0
      x <= 0 DAN x < -1. Irisannya adalah x < -1.
Karena kita berada dalam kasus -1 < x < 0, maka tidak ada solusi di sini.

Kasus 4: x < -1
Dalam kasus ini, |x| = -x dan |x-1| = -(x-1) = 1-x. Pertidaksamaan menjadi:
(1-x)/(-x-1) <= 1
Ini sama dengan Kasus 3, yang menghasilkan x < -1 atau x >= 0. Irisan dengan kondisi x < -1 adalah x < -1.

Menggabungkan semua solusi dari kasus-kasus yang valid:
Dari Kasus 1: x > 1
Dari Kasus 2: 0 <= x < 1
Dari Kasus 4: x < -1

Jadi, nilai x yang memenuhi pertidaksamaan adalah x < -1 atau 0 <= x < 1 atau x > 1.