Vektor m=i+j-k, n=2i+k, dan r=m+n. Panjang proyeksi

2 akar(10) / 5

Pembahasan

Untuk mencari panjang proyeksi ortogonal vektor m terhadap vektor r, kita perlu menghitung vektor r terlebih dahulu, lalu menggunakan rumus proyeksi ortogonal.

Diberikan vektor m = i + j - k dan vektor n = 2i + k.
Vektor r = m + n
r = (i + j - k) + (2i + k)
r = (1+2)i + (1)j + (-1+1)k
r = 3i + j

Jadi, vektor r = [3, 1, 0].
Vektor m = [1, 1, -1].

Rumus panjang proyeksi ortogonal vektor a terhadap vektor b adalah: | a . b | / |b|.
Dalam kasus ini, kita mencari panjang proyeksi ortogonal vektor m terhadap vektor r.

Langkah 1: Hitung hasil kali titik (dot product) antara m dan r (m . r).
m . r = (1 * 3) + (1 * 1) + (-1 * 0)
m . r = 3 + 1 + 0
m . r = 4

Langkah 2: Hitung panjang (magnitudo) vektor r (|r|).
|r| = akar( (3)^2 + (1)^2 + (0)^2 )
|r| = akar(9 + 1 + 0)
|r| = akar(10)

Langkah 3: Hitung panjang proyeksi ortogonal m terhadap r.
Panjang proyeksi = |m . r| / |r|
Panjang proyeksi = |4| / akar(10)
Panjang proyeksi = 4 / akar(10)

Untuk merasionalkan penyebutnya, kita kalikan pembilang dan penyebut dengan akar(10):
Panjang proyeksi = (4 * akar(10)) / (akar(10) * akar(10))
Panjang proyeksi = 4 akar(10) / 10
Panjang proyeksi = 2 akar(10) / 5

Jadi, panjang proyeksi ortogonal vektor m terhadap vektor r adalah 2 akar(10) / 5.