Kelas 9mathPola Bilangan
Pada minggu pertama, sebatang pohon mempunyai tiga dahan.
Pertanyaan
Pada minggu pertama, sebatang pohon mempunyai tiga dahan. Pada minggu kedua setiap dahan itu bercabang menjadi dua dahan baru dan proses ini berulang untuk minggu-minggu berikutnya. Banyaknya dahan lebih dari 120 batang terjadi pada minggu ke berapa?
Solusi
Verified
Banyaknya dahan lebih dari 120 batang terjadi pada minggu ke-5.
Pembahasan
Ini adalah soal tentang pertumbuhan eksponensial, khususnya pertumbuhan cabang pohon. Kita dapat memodelkan jumlah cabang sebagai barisan geometri. Minggu ke-1: 3 cabang Minggu ke-2: Setiap 3 cabang bercabang menjadi 2, sehingga total cabang menjadi 3 * 2 = 6 cabang. Ini tampaknya bukan model pertumbuhan yang tepat berdasarkan deskripsi "setiap dahan itu bercabang menjadi dua dahan baru". Mari kita asumsikan bahwa jumlah cabang pada setiap minggu adalah 3 kali lipat dari minggu sebelumnya jika setiap cabang menghasilkan satu cabang baru, atau bisa juga diartikan bahwa jumlah cabang bertambah dengan rasio tertentu. Mari kita interpretasikan ulang: "Pada minggu pertama, sebatang pohon mempunyai tiga dahan. Pada minggu kedua setiap dahan itu bercabang menjadi dua dahan baru". Ini bisa berarti jumlah cabang menjadi 3 (awal) + 3 * 2 (cabang baru) = 9 cabang. Atau, jika setiap cabang yang ada menghasilkan dua cabang baru, maka jumlah cabang menjadi 3 (yang ada) + 2 (dari setiap cabang) = 3 + 3*2 = 9 cabang. Mari kita coba model lain: Jumlah cabang pada minggu ke-n adalah $C_n$. $C_1 = 3$ Pada minggu ke-2, setiap dari 3 dahan bercabang menjadi 2 dahan baru. Ini berarti 3 dahan asli masih ada, dan muncul 3 * 2 = 6 dahan baru. Total $C_2 = 3 + 6 = 9$ cabang. Pada minggu ke-3, setiap dari 9 dahan bercabang menjadi 2 dahan baru. Muncul 9 * 2 = 18 dahan baru. Total $C_3 = 9 + 18 = 27$ cabang. Pola jumlah cabang adalah: 3, 9, 27, ... Ini adalah barisan geometri dengan suku pertama $a = 3$ dan rasio $r = 3$ (karena $9/3 = 3$ dan $27/9 = 3$). Rumus suku ke-n barisan geometri adalah $C_n = a * r^{(n-1)}$. Jadi, $C_n = 3 * 3^{(n-1)} = 3^n$. Kita ingin mencari minggu ke-n ketika jumlah cabang lebih dari 120: $C_n > 120$ $3^n > 120$ Mari kita coba beberapa nilai n: $3^1 = 3$ $3^2 = 9$ $3^3 = 27$ $3^4 = 81$ $3^5 = 243$ Jadi, pada minggu ke-5, jumlah cabang (243) pertama kali melebihi 120. Penting untuk dicatat bahwa interpretasi soal "setiap dahan itu bercabang menjadi dua dahan baru" bisa ambigu. Jika maksudnya adalah setiap dahan diganti dengan dua dahan baru, maka polanya akan berbeda. Namun, interpretasi di atas (jumlah cabang menjadi 3 kali lipat setiap minggu) adalah yang paling umum untuk soal semacam ini.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Barisan Dan Deret Geometri
Section: Barisan Geometri
Apakah jawaban ini membantu?