Suatu perusahaan real estate mempunyai rencana membangun

Soal ini memiliki kemungkinan kesalahan pada kendala tenaga kerja. Dengan interpretasi tertentu, keuntungan maksimum bisa mencapai Rp60.000.000 dengan membangun 0 rumah dan 30 bungalo, namun ini mengabaikan kendala tenaga kerja yang tampaknya tidak realistis.

Pembahasan

Ini adalah masalah program linear. Kita perlu menentukan variabel, fungsi tujuan, dan kendala.

Variabel:
Misalkan x = jumlah rumah yang dibangun
Misalkan y = jumlah bungalo yang dibangun

Fungsi Tujuan (Memaksimalkan Keuntungan):
Keuntungan = 2.500.000x + 2.000.000y

Kendala:
1. Luas Tanah: 500x + 400y <= 12.000 (m^2)
2. Tenaga Kerja: 360x + 160y <= 90 (orang/minggu) -> Ini sepertinya ada kesalahan dalam soal, biasanya tenaga kerja dihitung per minggu dan total tenaga kerja yang tersedia juga per minggu. Jika kita asumsikan angka 90 adalah total ketersediaan tenaga kerja selama 80 minggu, maka kendalanya menjadi:
   360x + 160y <= 90 * 80 = 7200 (Jika ini benar, maka nilai x dan y akan sangat kecil)

   Namun, jika kita asumsikan 90 orang adalah ketersediaan tenaga kerja per minggu, maka kendalanya tetap:
   360x + 160y <= 90
   Ini juga menghasilkan nilai x dan y yang sangat kecil, yang tidak realistis untuk pembangunan rumah dan bungalo.

   Mari kita asumsikan ada kesalahan ketik pada kendala tenaga kerja dan seharusnya nilai yang lebih besar atau satuan yang berbeda. Jika kita mengabaikan kendala tenaga kerja karena kemungkinan kesalahan, atau jika kita menginterpretasikan 90 sebagai batasan yang sangat ketat (misalnya, 90 unit tenaga kerja total yang bisa dialokasikan), mari kita lihat dampaknya.

   Asumsi lain yang mungkin adalah bahwa 'tenaga kerja' mengacu pada 'unit tenaga kerja' dan bukan jumlah orang per minggu. Jika kita mengasumsikan kendala tenaga kerja adalah 360x + 160y <= K, di mana K adalah total unit tenaga kerja yang tersedia.

   Kita akan mencoba menyelesaikan dengan asumsi bahwa angka 90 pada tenaga kerja adalah sebuah kesalahan dan mencoba menemukan titik-titik sudut dari kendala luas tanah saja untuk melihat potensi keuntungan maksimal, atau mencari klarifikasi mengenai kendala tenaga kerja.

   Jika kita mengasumsikan kendala tenaga kerja adalah kesalahan dan hanya menggunakan kendala luas tanah:
   500x + 400y <= 12000
   10x + 8y <= 240 (dibagi 50)
   5x + 4y <= 120

   Dan juga kita memiliki kendala non-negatif: x >= 0, y >= 0.

   Titik-titik sudut dari daerah layak:
   1. (0, 0)
   2. Titik potong dengan sumbu x (y=0): 5x = 120 => x = 24. Titik (24, 0)
   3. Titik potong dengan sumbu y (x=0): 4y = 120 => y = 30. Titik (0, 30)

   Sekarang kita evaluasi fungsi keuntungan pada titik-titik sudut ini:
   - Di (0, 0): Keuntungan = 2.500.000(0) + 2.000.000(0) = 0
   - Di (24, 0): Keuntungan = 2.500.000(24) + 2.000.000(0) = 60.000.000
   - Di (0, 30): Keuntungan = 2.500.000(0) + 2.000.000(30) = 60.000.000

   Jika ada kendala tenaga kerja yang valid, titik optimal bisa berbeda. Mengingat ada kendala 80 minggu, dan tenaga kerja yang tersedia 90 orang, ini bisa diartikan bahwa total jam kerja yang tersedia adalah 90 orang * 80 minggu = 7200 jam kerja (jika satuan 'orang' berarti 'jam kerja').
   Jika kita asumsikan kendala tenaga kerja adalah 360x + 160y <= 7200:
   360x + 160y <= 7200
   Bagi dengan 40: 9x + 4y <= 180

   Sekarang kita punya sistem kendala:
   1. 5x + 4y <= 120
   2. 9x + 4y <= 180
   3. x >= 0, y >= 0

   Kita cari titik potong antara 5x + 4y = 120 dan 9x + 4y = 180.
   Kurangkan persamaan (1) dari persamaan (2):
   (9x + 4y) - (5x + 4y) = 180 - 120
   4x = 60
   x = 15

   Substitusikan x = 15 ke persamaan (1):
   5(15) + 4y = 120
   75 + 4y = 120
   4y = 45
   y = 11.25

   Karena jumlah rumah dan bungalo harus bilangan bulat, kita perlu memeriksa titik-titik integer di sekitar (15, 11.25). Namun, dalam program linear, kita biasanya mencari nilai optimal pada titik sudut. Jika y harus integer, maka nilai y bisa 11.
   Jika x = 15, y = 11:
   Kendala 1: 5(15) + 4(11) = 75 + 44 = 119 <= 120 (Memenuhi)
   Kendala 2: 9(15) + 4(11) = 135 + 44 = 179 <= 180 (Memenuhi)
   Keuntungan = 2.500.000(15) + 2.000.000(11) = 37.500.000 + 22.000.000 = 59.500.000

   Mari kita periksa titik sudut yang lain:
   - Titik potong 5x + 4y = 120 dengan sumbu y: (0, 30). Kendala 2: 9(0) + 4(30) = 120 <= 180 (Memenuhi). Keuntungan = 2.000.000(30) = 60.000.000
   - Titik potong 9x + 4y = 180 dengan sumbu x: x = 20. Titik (20, 0). Kendala 1: 5(20) + 4(0) = 100 <= 120 (Memenuhi). Keuntungan = 2.500.000(20) = 50.000.000
   - Titik potong 5x + 4y = 120 dengan sumbu x: x = 24. Titik (24, 0). Kendala 2: 9(24) + 4(0) = 216 > 180 (Tidak memenuhi).

   Berdasarkan analisis ini, keuntungan maksimum yang mungkin adalah Rp60.000.000 jika membangun 0 rumah dan 30 bungalo. Namun, interpretasi kendala tenaga kerja sangat krusial. Jika 90 orang adalah total kapasitas tenaga kerja, maka pembangunan 30 bungalo yang membutuhkan 160 orang/bungalo jelas tidak mungkin.

   Mari kita asumsikan interpretasi kendala tenaga kerja adalah 360x + 160y <= 90 (unit tenaga kerja total).
   Ini berarti x dan y harus sangat kecil.
   500x + 400y <= 12000 => 5x + 4y <= 120
   360x + 160y <= 90 => 36x + 16y <= 9 => 9x + 4y <= 2.25

   Dari 9x + 4y <= 2.25, nilai x dan y pasti sangat kecil, mendekati nol.
   Jika x = 0, 4y <= 2.25 => y <= 0.5625. Maka y=0.
   Jika y = 0, 9x <= 2.25 => x <= 0.25. Maka x=0.
   Jika x=0, y=0, Keuntungan = 0.

   Ini menunjukkan kemungkinan besar ada kesalahan dalam formulasi soal, terutama pada bagian tenaga kerja.