Tentukan batasan nilai x yang memenuhi y=-2^(2x+1)+2^x+6

Batasan x adalah x <= 1. Nilai terbesar y adalah 49/8.

Pembahasan

Kita perlu mencari batasan nilai x yang memenuhi y = -2^(2x+1) + 2^x + 6 dan y >= 0.
Substitusikan y >= 0 ke dalam persamaan:
-2^(2x+1) + 2^x + 6 >= 0
-2 * 2^(2x) + 2^x + 6 >= 0
Misalkan p = 2^x. Maka persamaan menjadi:
-2p^2 + p + 6 >= 0
Kalikan dengan -1 dan balikkan tanda ketidaksamaan:
2p^2 - p - 6 <= 0
Faktorkan persamaan kuadrat:
(2p + 3)(p - 2) <= 0
Ini memberikan dua kemungkinan:
1) 2p + 3 >= 0 dan p - 2 <= 0  => p >= -3/2 dan p <= 2
2) 2p + 3 <= 0 dan p - 2 >= 0  => p <= -3/2 dan p >= 2 (tidak mungkin)
Karena p = 2^x, maka p harus positif. Jadi, kita ambil p <= 2.
Substitusikan kembali p = 2^x:
2^x <= 2
Karena basisnya lebih besar dari 1, maka:
x <= 1

Selanjutnya, kita cari nilai terbesar dari y. Nilai y akan maksimum ketika 2^x bernilai paling mendekati solusi dari ketidaksamaan kuadratik 2p^2 - p - 6 = 0, yaitu p = 2 (karena p = -3/2 tidak valid).
Jadi, kita gunakan p = 2, yang berarti 2^x = 2, atau x = 1.
Substitusikan x = 1 ke dalam persamaan y:
y = -2^(2*1+1) + 2^1 + 6
y = -2^3 + 2 + 6
y = -8 + 2 + 6
y = 0

Namun, perlu diperhatikan bahwa nilai maksimum y terjadi pada nilai p yang membuat parabola 2p^2 - p - 6 mencapai titik minimumnya di antara akar-akarnya, atau pada batas interval yang valid. Karena kita memiliki ketidaksamaan (2p + 3)(p - 2) <= 0, dan p = 2^x > 0, maka interval yang valid untuk p adalah 0 < p <= 2.
Fungsi y = -2p^2 + p + 6 adalah parabola yang terbuka ke bawah. Nilai maksimumnya terjadi pada p = -b/(2a) = -1/(2*(-2)) = 1/4.
Karena 1/4 berada dalam interval (0, 2], maka nilai maksimum y terjadi pada p = 1/4.
Substitusikan p = 1/4:
2^x = 1/4
2^x = 2^-2
x = -2

Sekarang kita hitung nilai y pada x = -2:
y = -2^(2*(-2)+1) + 2^(-2) + 6
y = -2^(-3) + 1/4 + 6
y = -1/8 + 1/4 + 6
y = -1/8 + 2/8 + 48/8
y = 49/8

Jadi, batasan nilai x yang memenuhi y >= 0 adalah x <= 1. Nilai terbesar dari y adalah 49/8 yang terjadi saat x = -2.