Nilai x yang memenuhi persamaan: xlog(3x+10)=2 adalah . . .

Nilai x yang memenuhi persamaan log_x(3x+10) = 2 adalah 5.

Pembahasan

Kita perlu menyelesaikan persamaan \(x^{\log(3x+10)} = 2\). Untuk menyelesaikan persamaan eksponensial yang memiliki variabel di eksponen dan basis, kita dapat mengambil logaritma pada kedua sisi. Dalam kasus ini, basisnya adalah x, jadi lebih mudah untuk mengambil logaritma dengan basis x atau logaritma natural/umum. Mari kita gunakan logaritma umum (basis 10).

Ambil logaritma basis 10 pada kedua sisi:
\(\log(x^{\log(3x+10)}) = \log(2)\)

Menggunakan sifat logaritma \(\log(a^b) = b \log(a)\):
\((\log(3x+10)) \cdot (\log x) = \log 2\)

Ini adalah persamaan logaritma yang kompleks. Namun, jika kita meninjau kembali soalnya, mungkin ada kesalahan penulisan atau maksud soalnya adalah \(x^{\log_{10}(3x+10)} = 2\) atau \(x^{\log_{x}(3x+10)} = 2\). 

Jika kita mengasumsikan soalnya adalah \(x^{\log_{10}(3x+10)} = 2\), penyelesaiannya tetap rumit.

Mari kita pertimbangkan kemungkinan lain: jika yang dimaksud adalah \(x^{\log_{x}(3x+10)} = 2\). Menggunakan sifat \(a^{\log_a b} = b\), maka persamaan menjadi:
\(3x+10 = 2\)
\(3x = 2 - 10\)
\(3x = -8\)
\(x = -8/3\)

Namun, logaritma hanya terdefinisi untuk argumen positif. Dalam \(\log_x(3x+10)\), basis x harus \(x>0\) dan \(x 
e 1\), dan argumen \(3x+10\) harus positif. Jika \(x = -8/3\), maka basisnya negatif, yang tidak diperbolehkan untuk logaritma.

Mari kita coba interpretasi lain yang umum dalam soal-soal: \(\log_a b = c \iff a^c = b\). Jika persamaan adalah \(\log_x(3x+10) = 2\), maka:
\(x^2 = 3x+10\)
\(x^2 - 3x - 10 = 0\)
Faktorkan persamaan kuadrat:
\((x-5)(x+2) = 0\)
Maka, \(x = 5\) atau \(x = -2\).

Kita perlu memeriksa apakah solusi ini memenuhi syarat basis logaritma (x > 0 dan x ≠ 1) dan argumen logaritma (3x+10 > 0).
Untuk \(x = 5\):
Basis \(x = 5\) memenuhi \(x > 0\) dan \(x \ne 1\).
Argumen \(3x+10 = 3(5)+10 = 15+10 = 25\), yang memenuhi \(3x+10 > 0\).
Jadi, \(x=5\) adalah solusi yang valid.

Untuk \(x = -2\):
Basis \(x = -2\) tidak memenuhi \(x > 0\). 
Jadi, \(x=-2\) bukan solusi yang valid.

Dengan demikian, nilai x yang memenuhi persamaan \(\log_x(3x+10) = 2\) adalah 5.